Permutations

[Antoniuum]

Bonjour à tous,

En travaillant sur le déterminant, j'ai aussi touché aux permutations et les groupes de symétrie !
Mais il me vient une question : Est ce que il existe toujours une formule explicite pour toute permutations ? Et si oui en connaissant les transpositions peut on la trouver directement ?

Parce que je connais l'écriture de ma permutation en terme de produit de transpositions mais je n'arrive pas à trouver une formule pour la fonction !

Voici en l'occurrence ma permutation : 1-2-3-4 --> 3-4-1-2 , elle me parait pourtant simple alors je sais pas vraiment !

Et une autre question dont j'ai déjà la réponse mais juste pour confirmation, dans les opérations élémentaires de la méthode de Gauss-Jordan, on peut ajouter à une ligne un multiple d'une autre ligne mais peut on directement (je pense que oui) un multiple de la même ligne plus un multiple d'une autre ligne ?

Merci d'avance
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[gg0]

Bonjour.

"1-2-3-4 --> 3-4-1-2" n'est-il pas une formule explicite ? Que veux-tu de plus ?

[Resartus]

3 4 1 2 est le produit des deux transpositions (1 3)(2 4)

Sinon, je ne comprends pas ce que vous entendez par "formule". Pourriez vous donner un exemple?

[Antoniuum]

J'entends par formule explicite celle d'une fonction telle que :

u : i ---> i+1 par exemple ce qui donne une permutation sur les indices ! Je sais pas si j'ai étais clair...

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

i ---> i+1 ne donne pas une permutation de {1,2,3,4}; même si on peut améliorer.
Mais à priori, chercher une expression calculatoire peut être un bon moyen de perdre du temps.

Cordialement

[minushabens]

La façon la plus simple de construire une expression est de partir d'une expression pour la transposition i<->j (exercice) et de composer de telles expressions. C'est une façon simple et automatisable, mais l'expression finale risque d'être compliquée...

[Antoniuum]

Ce n'est pas une question de temps, juste un développement que je faisais, ainsi si vous voyez ce que je veux dire gg0, connaissez vous donc une formule "fonctionnelle" de ce type pour mon exemple, c'est juste personnel, bien sûr si c'était pour calculer un déterminant, le calcul par les mineurs ou même plein d'autres méthodes sont bien plus rapides.

[CM63]

Bonjour,

La formule me paraît évidente: utilise une somme suivi d'une opération modulo 4.

A plus

[Antoniuum]

Merci pour vos réponses, je vais voir la composition de transpositions et la somme de CM63, et juste pour confirmation, quelqu'un peut confirmer ma deuxième question dans le premier post ?
Merci

[gg0]

Je peux difficilement confirmer. Même en écrivant correctement ce que tu veux faire : "mais peut on directement (je pense que oui) remplacer une ligne par un multiple de la même ligne plus un multiple d'une autre ligne ?

Revois pourquoi on peut ajouter à une ligne un multiple d'une autre. Puis essaie d'obtenir ce que tu disais par application de règles connues.

Cordialement.

[Antoniuum]

Je sais qu'on peut ajouter une constante à une ligne et dans un second temps, ajouter un multiple d'une autre ligne à cette ligne, si les deux opérations peuvent être faites l'une après l'autre, je ne vois pas pourquoi on ne pourrait pas combiner les deux !

[gg0]

Bizarre, ta réponse !
L1+a+bL2 n'a rien à voir avec aL1+bL2.

Sinon, de façon évidente, combiner deux opérations successives licites donne un résultat licite. Mais c'est tellement évident que j'essaie de savoir ce que tu sais ...