Probabilité: problème de sondage d'une population finie

[invited17b2131]

Bonjour à tous,

Voici ma question: dans une population finie de 10000 personnes par exemple (indépendantes entre elles), je cherche à savoir le nombre de personnes affectés par la maladie Y.

Mon objectif est de prouver qu'aucune personne n'est malade sur les 10000.

Combien de personnes dois-je dépister aléatoirement pour cette maladie avec un résultat négatif pour chacun pour savoir qu'à 90% de chances par exemple (ou 95%) je n'ai pas de malade dans ma population de 10000 personnes.

Un autre résultat que je cherche est le pendant du premier:
Si j'ai testé n personne et qu'aucune n'est malade sur la population N, quelle est la probabilité p qu'il n'y ait aucun malade sur la population N ?

J'ai testé avec la loi binomiale et avec les intervalles de confiance de la loi normale et je me suis cassé les dents dans les deux cas.

Merci beaucoup à tous pour votre contribution, et merci pour ce forum super!
Vincent.
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[invite986312212]

J'ai testé avec la loi binomiale et avec les intervalles de confiance de la loi normale et je me suis cassé les dents dans les deux cas.

c'est pourtant la bonne approche. Je te conseille de lire un cours de base d'épidémiologie, par exemple Bouyer et al. publié aux éditions de l'INSERM.

[invited17b2131]

Bonjour Ambrosio et merci pour ta réponse,

Ma grosse difficulté est de formaliser que je ne souhaite aucun malade.
Trouver pour 1 malade, pour < à 1 malade... c'est Ok. En ravanche l'absence de malade et donc la probabilité d'être malade égale à 0, je ne vois pas.

Bonne journée, cordialement,
Vincent.

[Pio2001]

On cherche à savoir quelle est la probabilité de choisir par tirage au sort 100 % de personnes saines dans une population comportant au moins une personne malade.

Trouver une réponse exacte serait difficile.
Dénombrer le nombre de façons pour une population de N personnes d'avoir au moins un malade est facile. C'est 2^N-1.
Mais dénombrer le nombre de façons de choisir un sous-ensemble de cette population ne contenant pas de malades me paraît très difficile, parce qu'il faudrait le faire dans chacun des 2^N-1 cas possibles.

Par contre, si on fait une approximation en posant 2^N-1 = environ 2^N, c'est très simple.
Dans notre approximation, chaque personne prise au hasard a une chance sur deux d'être malade (dans le cas exact c'est faux, parce que le cas où personne n'est malade est exclu).
Si notre test de dépistage est fiable à 100%, alors on a pour chaque test une chance sur deux d'obtenir un résultat négatif.

A partir de 4 tests, on a une chance sur 16 de n'avoir par hasard que des négatifs. Si c'est le cas, la probabilité pour qu'une personne au moins est malade est de 1/16, donc la probabilité pour que personne ne le soit est > 90 %

Ce résultat semble contre-intuitif parce que dans la vie, si on prend une maladie donnée, la probabilité pour qu'une personne choisie au hasard en soit atteinte est faible, tandis que dans notre modèle, elle vaut 1/2.
Dans ce modèle, chaque personne serait victime en moyenne chaque jour de sa vie de la moitié des maladies connues !

Si on veut un modèle plus réaliste, il faut donner une restriction sur la répartition possible de la maladie au sein de la population.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite986312212]

en y repensant, je réalise que le problème est mal posé (au sens méthématique du mot). En fait on peut d'une manière générale exprimer la distribution de probabilité d'un paramètre (ici la proportion de malades dans la population) en fonction de l'observation, par le théorème de Bayes et en ayant défini une distribution a priori du paramètre. Le problème ici, c'est que tu voudrais la probabilité que ce paramètre soit égal à zéro. Or, cette proportion est un paramètre qui peut a priori prendre n'importe quelle valeur entre 0 et 1, donc ne peut être modélisé raisonnablement que par une distribution continue, et nécessairement la probabilité que tu cherches est nulle. Tout ce que tu pourrais calculer par la méthode bayesienne, mais aussi par la méthode traditionnelle des intervalles de confiance, c'est la probabilité d'un intervalle [0,a], i.e. la probabilité que la proportion vraie soit plus petite que a.

[invite986312212]

en fait ma réponse précédente faisait l'hypothèse (usuelle) que la population était infinie. Or tu as pris la peine de préciser qu'elle était composée de 10000 individus. Dans ces conditions, la proportion de malades dans la population ne suit pas une loi continue, mais au contraire une loi discrète, puisqu'elle ne peut prendre que les valeurs 0, 1/10000, 2/10000,...,9999/10000, 1.
Malheureusement, pour distinguer 0 de 1/10000 il faudrait examiner pratiquement toute ta population.

[leon1789]

Voici ma question: dans une population finie de 10000 personnes par exemple (indépendantes entre elles), je cherche à savoir le nombre de personnes affectés par la maladie Y.

Mon objectif est de prouver qu'aucune personne n'est malade sur les 10000.

Combien de personnes dois-je dépister aléatoirement pour cette maladie avec un résultat négatif pour chacun pour savoir qu'à 90% de chances par exemple (ou 95%) je n'ai pas de malade dans ma population de 10000 personnes.

Un autre résultat que je cherche est le pendant du premier:
Si j'ai testé n personne et qu'aucune n'est malade sur la population N, quelle est la probabilité p qu'il n'y ait aucun malade sur la population N ?

La réponse est simple et intuitive (pour une fois !) : si tu veux être confiant à un seuil T% que personne n'est malade, il faut tester T% de la population.