Equation différentielle

[youyou0772]

Bonjour;
je veux résoudre une equation diff de premier ordre pa la méthode implicite et explicite d'euler tel que

dy/dt=-lambda t y(t) t>=0
avec y(0)=y0

merci de bien vouloir me donner un coup de pouce


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[Resartus]

Il suffit de transformer l'équation en dy/y=lambda.t.dt qu'on peut intégrer directement (primitive de 1/y à gauche, de t à droite. Ne pas oublier la constante)
Ensuite on introduit la condition y=y0 en t=0 pour trouver la bonne constante

[youyou0772]

Merci Resartus de m'avoir répondu.peux-tu un peu précis.j'ai pas compris

[Resartus]

A gauche, la primitive de 1/y est ln(y). A droite la primitive de t est t^2/2. On a donc ln(y)=lambda.t^2/2 +cste ou y=a*exp(lambda.t^2/2)....

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

On sait résoudre cette équation différentielle, Resartus l'a fait. mais est-ce la question initiale ? Car on est loin du schéma d'Euler ...

Cordialement.

[youyou0772]

Merci pour votre aide
voici la suite de l'exo


sachant que lambda est un paramétre d'amortissement strictement positif
-donner la solution de cette équation par la méthode d'Euler Explicite et Implicite
-déterminer analytiquement les valeurs de h pour la quelles la méthode d'Euler (explicite) appliquée au problème est absolument stable cad (lim Yn=0 quand n tend vers l'infini) il s'agit de déterminer la borne supérieure du pas de temps h en fonction du paramètre d'amortissement lambda>0


Regards

[youyou0772]

pour la premiere partie.je veux des help pour la deuxieme partie

Dy/dt=−λty(t)
y(0)=y0

1) Solution implicite et explicite :
Euler explicit

expl.png

Euler implicite
impl.png
On va exprimer yk+1 en fonction yk et t et Δt
for implicit method yk+1 = yk / (1 + Δt λ t )

for explicit yk+1 = yk (1 - Δt λ t )

[Resartus]

Vous y êtes presque, non? Que peut-on dire du facteur Deltat*t*lambda quand t devient très grand?
Donc, quelle est celle des deux méthodes qui est instable, et celle qui est stable? (et ce quelle que soit la valeur de lambda?)

[youyou0772]

c'est une réponse de la première partie. delta t=dt=tn+1-tn

[youyou0772]

je pense que la methode Explicite est la plus stable la limite est 0.32

[Resartus]

Mais non!
Deltat et lambda sont des constantes. Quand t augmente, le produit va augmenter également et 1-deltaT.lambda.t va devenir très grand, alors que 1/(1+deltat.lambda.t) va devenir très petit. Dans quel cas Yn+1 va-t'il tendre vers zéro?

Et par ailleurs, je ne vois pas de quel chapeau sort ce chiffre de 0,32

[youyou0772]

Bonjour;
donc il y a personne qui peut trouver la solution