Dimension de sous-espace vectoriel

[chimiste2312]

Bonjour! J'ai un devoir à faire du thème d'algèbre linéaire sur les dimensions de sous-espaces vectoriels mais je comprends pas grand chose...

Je dois dire si les énoncés suivants sont correct ou pas. Si oui, prouver, sinon, donner un contre-exemple.

1. Soit V un espace vectoriel. Quand v1, v2, v3, v4 (qui appartiennent à V) sont linéairement dépendants, alors Vect (v1, v2, v3, v4) a la dimension 3.

2. Soit V un espace vectoriel. Quand v1, v2, v3, v4 (qui appartiennent à V) sont linéairement dépendants, alors Vect (v1, v2, v3, v4) peut avoir la dimension 1.

3. Soit V un espace vectoriel de dimension 10. Alors V possède un sous-espace de dimension 4.

Voilà. Est-ce que quelqu'un pourrait déjà m'expliquer comment trouver la dimension d'un "Vect"? Et surtout est-ce que c'est possible que par exemple 4 vecteurs de 2 composantes engendrent un espace de 3 ou 4 dimensions?
-----

[PlaneteF]

Bonsoir,

Est-ce que quelqu'un pourrait déjà m'expliquer comment trouver la dimension d'un "Vect"?

Comme un espace vectoriel (cf. définition et propriétés de la dimension d'un e.v.). Quoi te répondre d'autre ?

Et surtout est-ce que c'est possible que par exemple 4 vecteurs de 2 composantes engendrent un espace de 3 ou 4 dimensions?

Qu'entends-tu par "vecteurs de 2 composantes" ?


Sinon pour ton exo ne va pas chercher midi à quatorze heures, si tu as bien assimilé les définitions en jeu, les réponses sont évidentes. De ton côté, que proposes-tu comme réponse à ces 3 questions sur la base de ta connaissance de ces définitions ?


Cordialement

[pm42]

En général, relire le cours aide pas mal surtout là...

[Resartus]

Le sous espace vect (V1...Vn) a autant de dimensions que le nombre de vecteurs indépendants de V1...Vn.
Dans l'exercice 1, quand on dit que les 4 vecteurs sont dépendants, cela veut dire que le sous espace ne peut pas être de dimension 4. Mais il peut être de dimension 3, 2, 1, ou même zero si tous les vecteurs étaient nuls (ce qui n'est pas exclu dans l'énoncé).

Si je comprends bien le mot "composante", vous voulez dire sur une base. Des vecteurs dont seulement les deux mêmes coordonnées sont non nulles sont forcément dans un sous espace de dimension 2 au plus (on peut tous les exprimer comme combinaisons des
vecteurs unitaires 1,0,0 .... et 0,1,0,....).
Après, il peuvent engendrer la totalité de ce sous espace, ou seulement un espace de dimension 1 (si tous ces vecteurs sont alignés) ou même 0 s'ils sont tous nuls...

[A voir en vidéo sur Futura]

[chimiste2312]

Alors quand je parle de composante, ce que je veux dire qu'un vecteur de 2 composantes est tel que v=(2;5) alors qu'un vecteur de 3 composantes est tel que v=(2;5;8).

Merci pm42 pour la réponse, mais si je comprenais mon cours, je viendrais pas poser la question ici.

Pour voir si j'ai compris la notion de dimensions... Si j'ai 4 vecteurs tels que v1=(1;2), v2=(2;3), v3=(3;4), v4=(6;9) dont 3 sont linéairement indépendants, cela signifie qu'ils forment un espace de 3 dimensions. Cela est correct?

Pour la question 1., j'arrive à la conclusion que c'est correct. En effet, à chaque fois que je prends 4 vecteurs linéairement dépendants, il y en a toujours 3 qui sont linéairement indépendants, donc la dimension est de 3.
Du coup pour la question 2, c'est le même raisonnement, la dimension est toujours de 3, donc faux.
Et pour la question 3, c'est correct. En effet, si la dimension est de 10, cela signifie qu'il y a 10 vecteurs linéairement indépendants, donc 4 d'entre eux sont forcément aussi linéairement indépendants et donc dimension est de 4.

[pm42]

Pour voir si j'ai compris la notion de dimensions... Si j'ai 4 vecteurs tels que v1=(1;2), v2=(2;3), v3=(3;4), v4=(6;9) dont 3 sont linéairement indépendants, cela signifie qu'ils forment un espace de 3 dimensions. Cela est correct?

Non parce qu'ils sont dans un espace de dimension 2 pour commencer et qu'ils ne peuvent pas former un espace de dimension supérieure. Déjà, tu n'en as pas 3 linéairement indépendants.

Pour la question 1., j'arrive à la conclusion que c'est correct. En effet, à chaque fois que je prends 4 vecteurs linéairement dépendants, il y en a toujours 3 qui sont linéairement indépendants, donc la dimension est de 3.

Non. Tu peux avoir 4 vecteurs linéairement dépendants sans qu'aucun ne soit linéairement indépendant des 3 autres. Il suffit de prendre v, 2v, 3v, 4v par ex.

Du coup pour la question 2, c'est le même raisonnement, la dimension est toujours de 3, donc faux.
Et pour la question 3, c'est correct. En effet, si la dimension est de 10, cela signifie qu'il y a 10 vecteurs linéairement indépendants, donc 4 d'entre eux sont forcément aussi linéairement indépendants et donc dimension est de 4.

2 et 3 sont vrais mais ton raisonnement pour 3 est un peu limite.

[PlaneteF]

Bonjour,

Pour la question 1., j'arrive à la conclusion que c'est correct. En effet, à chaque fois que je prends 4 vecteurs linéairement dépendants, il y en a toujours 3 qui sont linéairement indépendants, donc la dimension est de 3.

Attention, tu ne peux pas baser une démonstration ou une justification sur la base d'un pov' "à chaque fois" comme tu le fais, ... En plus on est sur le forum du supérieur !

Avec un tel type de raisonnement n'importe quel collégien aurrait pu démontrer le théorème de Fermat-Wiles et il n'y aurait pas eu besoin de plus 300 ans pour le faire

Cdt

[chimiste2312]

Merci pour la réponse. Donc pour la question 1, je peux dire que c'est faux car si je prends 4 vecteurs tels que v1=(1;2), v2=(2;3), v3=(3;4), v4=(6;9) tous linéairement dépendants, ils n'ont pas de dimension 3 car ils sont dans un espace de dimension 2.

Et puis, pour le 2, je comprends pas trop... Si c'est juste, il y 4 vecteurs linéairement dépendants, mais comme la dimension est 1, il en faut qui soit linéairement indépendant???

[PlaneteF]

Et puis, pour le 2, je comprends pas trop... Si c'est juste, il y 4 vecteurs linéairement dépendants, mais comme la dimension est 1, il en faut qui soit linéairement indépendant???

Pour la 2), tu peux très bien générer une droite vectorielle (qui est donc de dimension ) à l'aide de 4 vecteurs linéairement dépendants. Il est est très simple de donner un exemple.

Cdt

[pm42]

Lequel exemple a été donné plus haut d'ailleurs...

[PlaneteF]

Lequel exemple a été donné plus haut d'ailleurs...

En rajoutant

Cordialement

[pm42]

En rajoutant

En effet. J'ai parfois tendance à oublier les évidences dans ce genre de fil et à laisser la rigueur à la personne qui pose les questions. Je ne devrais peut-être pas...

[PlaneteF]

En effet. J'ai parfois tendance à oublier les évidences dans ce genre de fil et à laisser la rigueur à la personne qui pose les questions. Je ne devrais peut-être pas...

Oui je comprends ta démarche et elle peut se défendre d'une certaine manière, ... mais je ferais quand même observer les 2 points suivants :

1) Un forum est potentiellement lu par des milliards de personnes (allez soyons généreux quant à la fréquentation ) et toutes de niveau complétement différent ;

2) Plus particulièrement, ici chimiste2312 peut difficilement avoir cette rigueur puisqu'il ou elle n'a pas assimilé les notions de base.

Cordialement

[pm42]

En fait, c'est une question qui se pose aussi pédagogiquement. On met l'accent sur une rigueur absolue comme à priori, une approche "Bourbaki".
Cela se défend mais quand comme c'est le cas ici, on a quelqu'un qui clairement ne comprend pas du tout les concepts, je me demande s'il ne faut pas essayer d'abord de le mettre dans la bonne direction avec des explications aussi simples que possible avant de rédiger rigoureusement.

C'est ce que j'avais tendance à faire quand j'enseignais les maths il y a longtemps mais je n'en fais pas une règle absolue bien sur.

[Tryss2]

J'aurai tendance à dire qu'en phase d'enseignement d'un concept, il faut justement être le plus rigoureux possible. Le risque de simplifier, c'est que l'étudiant se mette dans la tête des choses fausses, "proches" des choses vraies, mais totalement fausses.

C'est une fois que les notions sont assimilées que l'on peut se permettre d'être un peu cavalier, car on sait que l'on est capable si besoin de le faire proprement. Mais même en maitrisant les notions, il n'est pas rare de dire une grosse bêtise quand on n'est pas très rigoureux (je pense à toutes ces trivialités qui n'en sont pas )

Après, présenter l'intérêt des notions de manière informelle, c'est loin d'être idiot

[pm42]

Le risque de simplifier, c'est que l'étudiant se mette dans la tête des choses fausses, "proches" des choses vraies, mais totalement fausses.

Je pense que ce risque est largement surestimé comparé au fait que la façon qu'on a d'enseigner les maths empèche de se faire une réprésentation mentale des concepts qu'on manipule.
Ici, c'est exactement le cas : chimiste2312 n'a vraiment aucune idée de ce qu'est un vecteur et n'est pas capable de se faire une image en dimension 2 pour vérifier si les propriétés sont vraies ou fausse alors qu'on y trouve des contre-exemples immédiatement.

Je pense qu'il faut en permanence faire des allez-retours entre intuition/représentation et formalisme et pas forcément privilégier l'un à l'autre.
J'ai d'ailleurs constaté avec plaisir que c'est ce que font les livres de mon fils au collège. Manque de chance, ses profs par contre continuent à vouloir enseigner le concept de symétrie par l'écriture de formules sans jamais faire remarquer qu'on en a plein autour de nous.