Problème de maths

[Mathiildex]

Bonjour à tous,

Voila j'ai un exercice de maths que j'arrive pas à cerner.. Je n'arrive pas à démarrer, même en essayant de simplifier, mettre en facteur, etc.. Je n'arrive pas à avancer, c'est pour cela que je viens vous demander de l'aide..

La question est la suivante :
Donner un équivalent simple de :

( e^ax - e^bx ) / (e^cx - e^dx ) en + l'infini ., où a,b,c,d sont des réels avec c différent de d .
J'ai essayé par la limite, mais c'est pas possible, puisque l'on se trouve pour le dénominateur avec 1-1 =0 impossible !
En factorisant j'aboutis à une formule encore plus complexe..
Je suis un peu coincée, est-ce-que quelqu'un peut m'aider s'il vous plait ?
Merci d'avance !
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[gg0]

Bonjour.

le mieux est d'essayer différentes valeurs de a, b, c et d, en n'oubliant pas les négatifs et en voyant les cas particuliers. Par exemple prends a=1,b=2,c=3, d=4.

Bonne réflexion !

[Mathiildex]

Merci de ta réponse,

alors j'ai fais comme tu me l'as conseillé, j'ai remplacé par :
a=1 ,b=2, c=3 et d=4.

donc ça nous donne :

(e^x - e^2x ) / (e^3x - e^4x)
= (e^x (1-e^x)) / (e^3x (1-e^x)) <-- J'ai factorisé par e^x au numérateur et par e^3x au dénumérateur.
= e^x/e^3x <--- J'ai simplifié en supprimer (1-e^x)
= e^-2x <-- En rassemblant les termes

Pour conclure, nous pouvons dire que :
(e^x - e^2x ) / (e^3x - e^4x) ~ (+infini) e^-2x

Cependant, ceci est pour un cas particulier, pour des valeurs données à a,b,c,d ainsi que je ne vois pas comment cela résoud le cas général ?

Merci encore !

[Médiat]

Bonjour,

En factorisant j'aboutis à une formule encore plus complexe..

Bizarre, en factorisant, on obtient quelque chose de simple, ainsi que le découpage en cas disjoints.

Mais attention, vos factorisations du message #3 ne sont pas les meilleurs.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Mathiildex]

Merci pour votre réponse,

Je ne vois pas comment on peut factoriser autrement que par exp(x) et exp(3x) puisque l'on suppose a,b,c,d distincts.

[Médiat]

Essayez avec le plus grand facteur au lieu du plus petit

[Mathiildex]

Je vois où vous voulez en venir, pour ce retrouver avec (e^x -1 ) ~ x, mais ici ce n'est pas en 0 mais en + infini, du coup on peut pas simplifier après ;

on se retrouve avec ceci :

(e^(2x)* (e^(1/2x) - 1) ) / (e^(4x)*(e^(3/4x) -1 )

Sauf que là on est bloqué, car en + infini, on ne connait pas d'équivalent de e^x-1

[Médiat]

Je vois où vous voulez en venir, pour ce retrouver avec (e^x -1 ) ~ x, mais ici ce n'est pas en 0 mais en + infini, du coup on peut pas simplifier après ;

Non, ce n'est pas à cela que je pense


Quant à (e^x - e^(2x)) , ce n'est absolument pas égal à (e^(2x)* (e^(1/2x) - 1) ) , il s'agit des règles de calculs sur les puissances d'un même nombre ....

[Mathiildex]

Ahhhh ouiii , pardon, je commence à fatiguer !

Tout à fait , on obtient (si je ne me suis pas trompée (yn) ):

(e^(2x)* (e^(-x) - 1) )/(e^(4x)* (e^(-x) - 1)

Ainsi on peut simplifier, et obtenir:

(e^(2x))/(e^(4x))
=e^(-2x)

Mais on en revient au même endroit..

Peut-etre voyez-vous une autre méthode que la simplification ?

[Mathiildex]

Attendez les amis !

Quand je dis que je fatigue, c'est vraiment le cas, puisque l'énoncé dit " en 0" et non en "+ l'infini " !
Excusez-moi, j'en voulais pour le + l'infini, que même en relisant et relisant l'énoncé je ne voyais pas que c'était en 0 !

Ainsi on peut utiliser un équivalent connu de e^x-1 ~ x en 0

ainsi on obtient au final :

( e^x - e^2x ) / (e^3x - e^4x ) ~ e^-2x

Cependant comment peut-on conclure sur le fait que ceci vaut pour le cas général ( e^ax - e^bx ) / (e^cx - e^dx ) ?
Merci encore !
Et encore une fois désolée !

[gg0]

Mon cas particulier n'est pas le meilleur, à cause de la simplification, qui n'arrive généralement pas. Prendre d'autres valeurs pour voir.

Une indication : trouver un équivalent simple de suivant les valeurs de a et b.

avec cette indication, l'exercice est presque trouvé, mais comme Mathiildex n'emploie pas des équivalents ...

[Mathiildex]

Je ne comprends pas tellement, car avec les chiffres donnés pour a , b c ,d , on pouvait au moins factoriser etc..
Mais là avec des lettre on ne peut pas..
Et un équivalent simple de e^ax-e^bx , sans simplification possible , j'avoue que je ne vois pas.
Comment ça je n'utilise pas d'équivalent ?

Pour a=1et b=0
on a un équivalent connu : e^x-1 ~ x en 0
Mais encore une fois, c'est un cas particulier..

[gg0]

Tu es sérieux(se) ???

De quoi parle ton énoncé ? Pourquoi parler d'équivalent en 0 ?

Je vais être encore plus explicite : Dans , il y a un terme qui est négligeable si a et b ne sont pas égaux (s'ils sont égaux ça fait ...).

Mais tu devrais peut-être revoir ce qu'est une exponentielle ?

[Mathiildex]

Oui, désolée je ne suis pas très douée en maths, c'est pour cela que j'ai besoin d'explications, si je comprenais tout sur le moment je ne serais pas là en train de me casser la tête sur un énoncé, à essayer de comprendre...

L'énoncé c'est ;
Déterminer un équivalent simple au point indiqué.
v : x-> ( e^ax - e^bx ) / (e^cx - e^dx ) en 0, où a,b,c,d sont des réels avec c différent de d.
Etant en ECE 2 , je n'ai pas vu de "truc" dans mon cours, pour déterminer tout de suite que selon une valeur de a différente de b alors ( e^ax - e^bx ) est équivalent à quelque chose.
Je sais ce qu'est une exponentielle, mais même par croissance comparée là je ne vois pas tout de suite la logique où vous voulez en venir. Sérieusement je ne vois pas, peut-être parce-que j'ai justement trop la tête dedans , mais franchement non, même avec mon cours et tout je ne vois pas l'évidence que vous voyez !

[Mathiildex]

Si je reprends la définition de la négligeabilité :

f est négligeable devant g si et seulement si lim x->a f(x)/g(x) =0

Ici :

supposons que e^ax est négligeable devant e^bx ; alors,

lim x->0 e^ax /e^bx = lim x->0 e^(ax-bx) = lim x->0 e^(a-b)x = 1 et non pas 0

[gg0]

Bon,

inutile de continuer, tu es à côté de la plaque. Et si tu relisais l'énoncé de ton exercice ?

[gg0]

A noter : "supposons que .."

Tu n'es pas là pour supposer, mais pour regarder ce qui se passe ... en +oo.

[gg0]

A moins que ton premier message soit faux et que l'équivalent demandé soit bien en 0. Ce qui changerait tout !!

[Mathiildex]

(J'ai fais une pause pour la tete ca commencer a faire n'importe quoi dedans.. )
Mais oui l'equivalent est en 0.

[gg0]

Alors ça change tout !

Il suffit d'utiliser des développements limités, puisque ax, bx, cx et dx tendent vers 0. Si a=b, la fonction est nulle, sinon, des DL au premier ordre suffisent.

Cordialement.

NB : Quelle perte de temps simplement parce que tu as écrit "Donner un équivalent simple de : ( e^ax - e^bx ) / (e^cx - e^dx ) en + l'infini " !

[JustPassing]

C'est très simple à ce qu'il me semble, tu as l'équivalent de e^rx= 1 + rx quelque soit le r dans {a,b,c,d} alors (e^ax-e^bx)/(e^cx-e^dx)=(a-b)/(c-d) en 0
Je ne vois pas où est le probleme si tu utilises le developpement limité!

[gg0]

C'est bien d'arriver après la bataille !!

[Mathiildex]

Oui quelle bataille

Mais oui du coup c'est sur que ça va mieux en 0 ! J'y avais aussi pensé au DL mais bon en + l'infi c'est pas possible.
Merci beaucoup, je fais ça et je vous tiens au courant de mon avancée !

Bonne soirée à tous !

[Mathiildex]

Alors alors,

Avec le DL1 en 0 on obtient :

(e^ax-e^bx)/(e^cx-e^dx) ~ en 0 ((a-b)/(c-d))x + "un petit taux " (x) en 0


J'espère ne pas m'être tromper.
Voila voila.

[JustPassing]

mais le x il est simplifié!! en plus si tu utilises l'equivalent ~ il n'y a plus de taux, le taux c'est pour l'égalité

[Mathiildex]

POurquoi le x serait simplifié ?
De plus j'ai pris la formule de mon cours d'un développement limité à l'ordre 1 en x0:
f(x) = f(x0) + f'(x0)(x-x0) + petit taux de (x-x0) en 0

Du coup ce que tu veux dire c'est que l'équivalent c'est juste la première partie de l'équation : f(x0)+f'(x0)(x-x0)
soit (a-b)/(c-d)x (mais le x n'est pas simplifiable ici )

[ansset]

( e^ax - e^bx ) / (e^cx - e^dx ) en + l'infini ., où a,b,c,d sont des réels avec c différent de d .

que tu peux écrire:

[ansset]

faute de frappe possible..
correction trop tardive.

[ansset]

soit


et donc, la suite t'appartient.

[Mathiildex]

Oui désolée je me suis trompée et j'étais bornée dans cette idée !
Oui ça revient à mettre en facteur les termes.