Algèbre linéaire : Base d'un espace vectoriel

[chimiste14]

Bonsoir,

Pour précision, je sais trouver une base d'un espace vectoriel. Le seul soucis, c'est que l'espace vectoriel de l'exercice que je suis entrain de faire correspond à un ensemble de matrice qui s'écrive sous une certaine forme.

Voici l'énoncé : (du moins le début, ce qui m'intéresse.)

On se place dans l'espace vectoriel M2,3 (R).

On note E l'ensemble des matrices M2,3 (R) qui peuvent s'écrire sous la forme suivante :
( a b 0 )
( b 0 -a ) avec a et b réels.

La première question nous demande de montrer si E est un sous-espace vectoriel. C'est évident.

Après, on me demande une base et la dimension du sous-espace vectoriel. C'est là que je coince.

(Je sais trouver la base de Ker A et Im A lorsque A est une matrice associée à une application linéaire relative à E, F. Je sais trouver la base d'un espace vectoriel de type F = ( (x1 x2 x3) appartenant à R3, x1 = x2 = X3) Mais quand on me donne une matrice caractérisant un sous-espace vectoriel ...

Ma première intuition est de résoudre un système. Mais lequel ?

Merci beaucoup d'avance !
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[chimiste14]

EDIT : Après réflexion, on peut écrire M =

a x (1 0 0) + b x (0 1 1)
(0 0 -1) (1 0 0)

On a donc une famille génératrice. On peut facilement montrer qu'elle est libre en montrant que pour a=b=0, on obtient la matrice nulle de dimension M23. Donc dimE = 2.

Est-ce correct ?

(Désolé pour la mise en page. Assez compliqué d'écrire des matrices comme ça.)

[PlaneteF]

Bonsoir,

EDIT : Après réflexion, on peut écrire M =

a x (1 0 0) + b x (0 1 1)
(0 0 -1) (1 0 0)

L'utilisation du signe n'est pas très heureux ici, ... car il s'agit d'une l.c.e à gauche que l'on note plutôt

Il y a aussi une coquille là où j'ai mis en rouge dans ta citation.

On peut facilement montrer qu'elle est libre en montrant que pour a=b=0, on obtient la matrice nulle de dimension M23.

Non, ce n'est pas comme cela que l'on montre qu'une telle famille est libre.


Cordialement

[chimiste14]

Bonsoir,

Tout d'abord, merci pour tes précisions.
Sinon, erreur de ma part. Je me suis très mal exprimé. Je voulais dire que pour montrer que la famille en question est libre, on résout le système de 6 équations à 2 inconnues (a et b). Et on montre que a = b = 0.

Est-ce bien le cas cette fois-ci ?

Merci encore !

[A voir en vidéo sur Futura]

[chimiste14]

Par ailleurs, j'ai une question. Pouvons-nous dire que dim M23(R) = 6 ?

Et on a donc dim F = 2.

[PlaneteF]

Sinon, erreur de ma part. Je me suis très mal exprimé. Je voulais dire que pour montrer que la famille en question est libre, on résout le système de 6 équations à 2 inconnues (a et b). Et on montre que a = b = 0.

Est-ce bien le cas cette fois-ci ?

Merci encore !

Oui c'est bon.

Cdt

[chimiste14]

Merci encore !

Pour la suite de l'exercice, on se place dans Mn,n(R).
On définit le sous-ensemble vectoriel F les matrices carrées M appartenant à Mn,n(R) ayant comme somme des membres de la diagonale principale 0. il faut que je trouve une base et la dimension de l'espace.

Première réflexion : F = { M appartenant à M3,2(R) / a11 + a22 + a33 + ... + ann = 0}

En fait, je me suis dit que c'est comme si on avait x1 + x2 + x3 = 0 comme contrainte. Or, dans ce cas on peut exprimer x3 fonction de x1 et x2. Donc je me suis dit que la dimension de F est n-1. Mais je ne suis pas sûr.

Comment trouver la base ?

Merci encore !

[chimiste14]

Je me permets de upper ce topic.

[gg0]

Bonjour.

Quand il y a 3 coordonnées seulement, x1 + x2 + x3 = 0 dit que l'une est obtenue quand on connait les deux autres. Pour une matrice de Mn, il y a combien de nombres définissant la matrice ?

Cordialement.

NB : "F = { M appartenant à M3,2(R) / a11 + a22 + a33 + ... + ann = 0} n'a aucun sens !3 n'est pas égal à 2 et n n'existe pas, ni a33 !!!

[chimiste14]

Ouh la ! Au temps pour moi. J'étais resté sur la question précédente.

F = { M appartenant à Mn,n(R) / a11 + a22 + a33 + ... + ann = 0}

Mais je n'arrive toujours pas à trouver la base.

Pour répondre à ta question : Il y a n nombres définissants la matrice. Je me trompe ?

[gg0]

Ah bon ? dans une matrice 2x2 il y a 2 nombres ? Regarde donc cet exemple pour voir ce qui se passe.

[chimiste14]

Je comprends bien ta question. Dans une matrice 2,2, il y a 4 nombres. Soit 2².

Donc, j'en conclus que dans une matrice n,n, il y a n² nombres qui définissent la matrice.

Mais, dans ma première réflexion, je n'ai pris en compte que les n nombres de la diagonales puisque c'est eux qui nous intéressent. J'imagine que ce raisonnement est erroné.

Si je comprends bien, la dimension de la base sera n² - 1 mais comment pouvons-nous la définir ?

[gg0]

le mieux est de décomposer la matrice en fonction des nombres qui la composent. En dehors de la diagonale, une matrice par nombre, puis traiter les matrices diagonales qui conviennent.
Commence par regarder pour une matrice 2x2.

C'est bizarre que je doive te dire ces idées élémentaires sur comment travailler (phrase ci-dessus après le message #11) !!

[chimiste14]

Prenons par exemple une matrice 2,2, M=

(a b)
(c d)

avec a + d = 0

On peut dire que M = b (0 1 0 0) + c (0 0 1 0) + (a 0 0 d) (la matrice diagonale, telle que a + d = 0)

Et comme on a : a = - d, on peut écrire : (a 0 0 d) = a (1 0 0 -1)

Est-ce le cas ?

Donc on a bien dim = n² - 1 = 3 pour une matrice 2,2.

[gg0]

Oui, je ne conteste pas. Continue ...

[achli]

salut tout le monde
voila des liens directs vers des lires PDF que j'ai trouvé et qui sont trop trop important pour votre preparation !!
bon courage ^^
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