Intégrale sur espaces metrique (question sur le bord)

[Murmure-du-vent]

Bonjour

J'ai un 4 espacetemps M muni d'une metrique g.
On y a des intégrales du type

Je prends un ouvert O de M possedant un bord du type espace (avec une normale n du type temps au sens de la metrique g) Si je suis amemé à faire une intégration par partie sur O je vais voir apparaitre un termr du genre

Comment puis exprimer cet element de 3 volume en fonction des elements n et de g?
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[Amanuensis]

Je ne comprends pas. Si c'est l'équivalent du théorème de Stokes (ou une de ses variantes), ce ne peut pas être le même f dans l'intégrale 4D et l'intégrale 3D, non?

[Murmure-du-vent]

Non c'est par paresse que je l'ai laissé par copié collé.
En fait je cherche une expression du type intégration par partie quand on a une métrique.

[minushabens]

Ca veut dire quoi un bord de type espace?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Murmure-du-vent]

Dans l'espace temps t=0 correspond à un sous espace du genre espace. de meme que tous les vecteus dont la "vitesse" est supérieure à celle de la lumiere.
un corps massif décrit une courbe du genre temps.

[minushabens]

Attention, un ouvert d'un espace vectoriel de dimension 4 ne peut pas être contenu dans un sous-espace de dimension 3.

[Amanuensis]

Ca veut dire quoi un bord de type espace?

Plutôt une frontière (puisqu'on parle d'un ouvert), et cela veut dire qu'en chaque point le tangent est généré par trois qvecteurs de genre espace.

[Amanuensis]

J'ai l'impression que vous cherchez la forme volume construite à partir de la métrique induite.

Exemple, si la forme métrique est dt²-dx² -dy² -dz², alors sur l'hyperplan t=0, la métrique induite est dx²+dy²+dz² et la forme volume dxdydz (en omettant le symbole du produit, comme on le fait pour une intégrale).

C'est ça?

[Murmure-du-vent]

je parle d'un ouvert de M (de dimension 4) dont le bord de dimension 3 est de type espace. Le 4 element de volume infinitésimal est

je cherche l'expression correspondante pour l'élément de 3 volume du bord. le vecteur n doit sans doute y apparaitre.

[Amanuensis]

J'avais compris, et mes deux messages restent valides.

le vecteur n doit sans doute y apparaitre

Pas nécessairement

[Murmure-du-vent]

C'était une réponse à minushabens.
Je pense que la donnée de n et de g suffit à exprimer l'expression générale que je cherche.

[Amanuensis]

Imaginez en 3D euclidien que vous voulez écrire l'intégrale donnant l'aire d'un carré dans le plan (O, x, y), comment l'exprimez-vous avec un vecteur "n" ?

[Amanuensis]

Par ailleurs la relation entre le "vecteur n", la métrique et la forme volume est à chercher vers la dualité de Hodge.

Pour un espace vectoriel de dimension n, le dual de Hodge d'une p-forme w est la (n-p)-forme *w qui est telle que pour toute p-forme v, et où le point désigne le produit scalaire (donc la métrique) et V la n-forme volume de référence.

Pour n=4 si on prend (x,y,z) un système de coordonnées d'une sous-variété de dimension 3, alors le qvecteur "normal" est #. Cette correspondance peut être utilisée pour exprimer certaines intégrales sur la sous-variété, à l'image du théorème de Green-Ostrogradski (https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...n-Ostrogradski)

On notera que la page citée utilise bien le terme "frontière"

[Murmure-du-vent]

Ca a l'air d'etre bien vu la dualité de Hodge! la forme cherchée serait donc *n
Il faut que je vois si avec la 4 metrique g çà redonne la 3 métrique induite.

[Amanuensis]

? Genre, pour reprendre le message #1



(avec n le quadrivecteur normal, bémol l'opérateur--qui fait intervenir la métrique--passant d'un vecteur à une forme, et * la dualité de Hodge--qui fait aussi intervenir la métrique)

Ce serait quelque chose comme cela que vous cherchiez?

[Murmure-du-vent]

Oui,

J'avais jusque là considéré cette histoire de dual de Hodge comme une notation elegante mais peu utile pour des calculs numériques. Du genre , on démontre son existence et son unicité mais on s'arrete là.
D'habitude sur google je tombe sur des articles en anglais mais là je suis tombé sur un wiki espagnol.
on part d'une métrique (pour simplifier je prends en plus du temps un espace à deux dimensions)

Pour reprendre ta notationje prends un vecteur i0 et je note j'ai aussi un vecteur n dont je cherche le *n avec


D'apres le wiki espagnol je peux écrire:

Comme
on obtient


Dans les integrations par parties sur l espace temps courbe on voit apparaitre d's integrales sur les bords que je n'arrivais pas à expliciter.
J'espere ne pas m'etre trompé. Merci de corriger sinon.

[Amanuensis]

Je ne vois pas de problème.

D'apres le wiki espagnol je peux écrire:

Oui, c'est une application directe de la définition du dual de Hodge donnée message #13, en précisant la 3-forme volume.

[Amanuensis]

J'avais jusque là considéré cette histoire de dual de Hodge comme une notation elegante mais peu utile pour des calculs numériques. Du genre , on démontre son existence et son unicité mais on s'arrete là.

En fait on l'utilise énormément dans des calculs, mais sous des apparences la déguisant (et en combinaison avec la dérivée extérieure): divergence et rotationnel.

[Murmure-du-vent]

Oui, c'est une application directe de la définition du dual de Hodge donnée message #13, en précisant la 3-forme volume.

Et comme je le pensais au message 11 la réponse s'exprime en fonction de n (1, alpha, beta ) et de g.
Merci encore.

[Amanuensis]

Comme

Après relecture, ce ne serait pas plutôt

[Murmure-du-vent]

tout à fait.

[Murmure-du-vent]

Je ne sais pas si çà peut vous intéresser, mais je vous donne ce lien

Regardez les égalités (19) une intégrale sur M se ramene à une intégrale sur une surface de Cauchy (un bord) et est d'ailleurs indépendante du choix de ce bord. Le probleme était que je ne savais pas comment calculer une intégrale sur ce bord.
f et h sont des fonctions test à support compact. On leur associe à l'aide des propagateurs avancés et retardés phi et psi qui vériefient l'équation de Klein Gordon (en espace temps non plat) Dans les intégrations par parties le fait qu'ils obeissent à KG fait qu'à la fin il ne reste que des intégrales sur le bord Sigma.

[Murmure-du-vent]

Oui,

J'avais jusque là considéré cette histoire de dual de Hodge comme une notation elegante mais peu utile pour des calculs numériques. Du genre , on démontre son existence et son unicité mais on s'arrete là.
D'habitude sur google je tombe sur des articles en anglais mais là je suis tombé sur un wiki espagnol.
on part d'une métrique (pour simplifier je prends en plus du temps un espace à deux dimensions)

Pour reprendre ta notationje prends un vecteur i0 et je note j'ai aussi un vecteur n dont je cherche le *n avec


D'apres le wiki espagnol je peux écrire:

Comme
on obtient


Dans les integrations par parties sur l espace temps courbe on voit apparaitre d's integrales sur les bords que je n'arrivais pas à expliciter.
J'espere ne pas m'etre trompé. Merci de corriger sinon.

Je viens de m'apercevoir que ce que j'ai écrit est en partie erroné. en effet

présente une asymétrie due au choix de la premiere forme dt qui n'a pas lieu d'etre. d'ailleurs si j'y rajoute un terme
en ca marche aussi.
de meme que n est quelconque il faut partir egalement de i0 egal non à dt mais à Adt + Bdx +Cdy
le resultat pour la definition contiendrait donc 3 termes.


Comme je me suis trompé précedemment merci de verifier si c'est exact maintenant.

[Amanuensis]

Pas le temps de regarder en détail, mais n n'est pas quelconque, il est orthogonal à l'hypersurface.

J'avais compris que dx et dy définissaient le plan. J'imagine qu'en fait (t, x, y, z) sont des coordonnées quelconques, mais alors faut définir l'hypersurface et si elle est quelconque effectivement cela revient à n quelconque. Seulement, faut alors exprimer le dSigma en termes de vecteurs générant l'espace tangent local à l'hypersurface, et ce n'est plus nécessairement dx dy dz.

Et aussi, en relisant, le premier message parle de 3D en 4D, et à un moment de la discussion, c'est passé en 1D + 2D, non?

Bref, je suis un peu perdu, là.

[Murmure-du-vent]

En fait c est bien en 4D mais pour ecrire le metrique g explicitement j'ai ignoré le z.
Dans mon point de depart, j'ai une famille d'hypersurface Sigma du du genre espace donc avec un flot de normales (au sens de g) du genre temps
<n,gn> positif (convention de signature)

[Murmure-du-vent]

Il y a encore un truc qui ne marche pas le dual de Hodge de n ne doit dependre que de n et de la metrique pas des composantes d'un vecteur quelconque A,B,C
on doit avoir pour tout V ou omega est le 4 volume.

[Amanuensis]

Il y a une étoile en trop à gauche ou en pas assez à droite.

[Murmure-du-vent]

ok le premier serait plutot un bemol qui manque d'ailleurs avec le n. Merci de rectifier sur ta prochaine réponse.=)

[Murmure-du-vent]

me semble finalement correct