Comment interpréter cette notation de plan?

[julienba]

Bonjour à tous,

j'ai un exercice à faire en algèbre linéaire, mais j'ai du mal à comprendre la notation utilisée:

Soient et deux plans dans qui passent par 0. Calculer et interpréter le résultat géométriquement.

Ma question -qui peut paraitre bête- est: que signifie ? Est-ce que le veut dire "tout scalaire qui appartient à "? J'ai fait quelques recherches, mais je ne trouve rien de similaire sur internet. J'aimerais donc comprendre cette notation avant d'aller plus loin.


Merci d'avance de vos réponses.


J.
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[Murmure-du-vent]

On indique peut etre que R1 passe par ces deux points et en plus par l'origine. Idem pour E2.

[Amanuensis]

Est-ce que le veut dire "tout scalaire qui appartient à "?

En toute vraisemblance oui, et le point est la multiplication par un scalaire (et aurait pu être omis).

À rapprocher d'une écriture comme

L'indication que les plans passent par l'origine des coordonnées est redondante, puisque cette origine est obtenue en prenant 0 comme scalaires.

[julienba]

Mais du coup, comment est-ce qu'une addition de vecteurs (même si chacun est multiplié par un scalaire) peut-il donner un plan?? Je n'arrive pas à faire le lien avec une équation cartésienne de type ax + by + cz + d = 0.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonsoir.

A étant un ensemble,

Tu peux aussi comprendre que E₁ est engendré par (1,2,0) et (1,1,0).

NB : généralement, on met des virgules dans les triplets.

Cordialement.

[joel_5632]

bonsoir

Apparemment E1 = vect((1,2,0), (1,1,0))

[joel_5632]

Tu as l'air de confondre plans affines et vectoriels.

Ici il me semble que R^3 est vu comme R-ev. E1 et E2 sont des sev
donc toutes des droites, plans, sev passent contiennent 0 (le vecteur nul)

Cette équation ax + by + cz + d = 0 est celle d'un plan affine

[julienba]

Ah, alors est-ce que je peux interpréter comme: ?

[gg0]

Désolé,

je ne comprends pas ce que veut dire ici "interpréter". Par contre tu peux chercher comment est fait un (x,y,z) qui appartient à l'intersection.

[julienba]

Par interpréter je voulais dire "égal" je pense

[Murmure-du-vent]

Pour la notation de somme de deux sous espaces vectoriels voir ici

[julienba]

Merci pour le lien. Est-ce que tu pourrais me confirmer que l'équation que j'ai posé plus haut est une méthode viable pour déterminer l'intersection des deux sev? Je galère sur le système sans même être sûr d'aller dans la bonne direction.


Merci d'avance.


J.

[julienba]

(au passage, je trouve )

[Murmure-du-vent]

E1 est défini âr 2 vecteurs V1 et V2 et E2 par V3 et V4
la droite cherchee s'obtient en formant:

[PlaneteF]

Bonjour,

(au passage, je trouve )

Oui, ... mais tu ne vas pas donner le résultat comme cela.

Cordialement

[Amanuensis]

[Aparté privé, HS, ne pas répondre dans ce fil]

E1 est défini âr 2 vecteurs V1 et V2 et E2 par V3 et V4
la droite cherchee s'obtient en formant:

Utilisation sous d'autres notations de la dualité de Hodge!!!

[gg0]

Julienba,

la méthode qui consiste à prendre un élément (ici (x,y,z)) et dire qu'il appartient à E1 (donc ici il existe deux réels a et b tels que (x,y,z)=(a+b,a+2b,0)) puis qu'il appartient à E2 (donc ici il existe deux réels c et d tels que (x,y,z)=(-c+4d,3d,c+2d)) est évidemment très générale. Elle se ramène effectivement à dire qu'il existe un réel a tel que (x,y,z)=(-2a,-a,0), donc que c'est l'espace vectoriel engendré par ... .
Comme il est de dimension 1, on parlera aussi de "droite vectorielle".

Cordialement.

[Murmure-du-vent]

E1 est défini âr 2 vecteurs V1 et V2 et E2 par V3 et V4

Une autre facons de présenter les choses est la suivante:
E1 est l'ensenmble des vecteurs V tels que det (V1, V2, V) =0
E2 est l'ensenmble des vecteurs V tels que det (V3, V4, V) =0

[Murmure-du-vent]

[Aparté privé, HS, ne pas répondre dans ce fil]



Utilisation sous d'autres notations de la dualité de Hodge!!!

Private joke!

[julienba]

J'ai présenté le résultat comme . Merci à tous pour votre aide.


J.

[julienba]

Question bonus (au risque d'avoir tout faux): peut-on dire du coup que est un sous-espace vectoriel de ?

[PlaneteF]

Bonsoir,

J'ai présenté le résultat comme . Merci à tous pour votre aide.

Généralement on choisit comme vecteur celui dont l'écriture est la plus simple (même si cela n'est pas obligé) et donc ici on prendra plutôt :

Cdt

[PlaneteF]

Question bonus (au risque d'avoir tout faux): peut-on dire du coup que est un sous-espace vectoriel de ?

La réponse a priori est évidente, la réponse a posteriori est tout aussi évidente, ... je te laisse le soin de répondre et de justifier ta réponse dans les 2 cas.

Cdt

[julienba]

La réponse a priori est évidente, la réponse a posteriori est tout aussi évidente, ... je te laisse le soin de répondre et de justifier ta réponse dans les 2 cas.

Et bien je dirais que n'est pas vide (il contient au moins le vecteur (0, 0, 0)), que l'addition de deux vecteurs de appartient aussi à , et que la propriété relative à la multiplication par un scalaire est induite par la multiplication par . Si je te suis bien, ça c'est donc à posteriori. Pour le à priori, je ne suis pas sûr: si les propriétés d'addition et de multiplication par un scalaire me semblent évidentes, il en est déjà moins de . Je dirais que comme les plans sont formés par des vecteurs non parallèles, leur intersection contient forcément au moins un élément.


J.

[PlaneteF]

Par "a priori" je voulais dire avant de déterminer explicitement : C'est évident puisque l'intersection de 2 ss-ev est toujours un ss-ev de l'ev de base.

Ensuite "a posteriori", c'est-à-dire après avoir déterminer qu'il s'agit d'une droite vectorielle, c'est aussi évident car une droite vectorielle est bien un ss-ev de l'ev de base.

Cdt

[julienba]

Merci à toi (et à tous les autres qui ont contribué bien sûr) pour toute ces précieuses explications. Je reviendrai sûrement bientôt, mais je comprends déjà un peu mieux la notion de sous-espace vectoriel ainsi que les notations utilisées.

Bonne continuation.


J.