Les distributions en physique

[freemp]

Salut.

En fait j'avais déjà créé un topic là dessus il y a un certain temps mais je pense que j'avais pas assez de recul sur les distributions et je posait mal mes questions.
J'ai bossé ça ces derniers jours et j'aurai des questions liés à leurs validités quand il s'agit de décrire des phénomènes physiques.

Bon alors prenons une température d'une barre. La température dépend de l'abscisse.

Si on a une fonction qui représente mathématiquement la grandeur physique "température en fonction de l'abscisse", on a en théorie une précision infinie (on peut connaître la température en chaque point réel x, ce qui n'est pas très physique).

Du coup on a introduit les distributions qui permettent entre autre de tenir compte de la précision de la mesure. On va plus évaluer en un point donné de l'espace, mais on va se donner une fonction test qui va moyenner la grandeur sur un certain intervalle. Comme fonctions tests on va utiliser des Gaussiennes (par exemple).

En gros si je veux la température en x0, je vais évaluer ma distribution associée à ma température T avec une fonction test qui sera "centrée" en x0. Plus elle sera étalée moins j'aurai de précision sur ma mesure.

Ok jusque là.

Maintenant voici un des points que je souhaiterai comprendre :

On définit la dérivée d'une distribution comme ceci :



Soit, mathématiquement on peut définir ça comme on veut.

Maintenant ma question : pourquoi cette distribution dérivée décrira bien la variation physique moyennée (à cause des fonctions tests) de ma température quand je l'évaluerai en ces fonctions tests.

Prenons un exemple concret : je dis que T=[T] ([T] est la distribution régulière associée à ma fonction T(x) qui traduit la température dans la barre).

Je suppose que j'ai une discontinuité sur T(x), par exemple en T(x)=f(x) pour x<=x0 et T(x)=g(x) pour x>x0 avec g(x0+) différent de f(x0).

Pour moi la "vraie" variation de la température ce serait et pas .

En effet, si on évalue avec une fonction test symétrique, très piquée en x0, on trouve : (en gros j'ai une fonction test très piquée, donc T variera peu sur le support de la fonction test, donc je considère T' à peu près constante de part et d'autre de la discontinuité). En gros on moyenne bien la grandeur T' avec cette définition.
Je ne cherche pas à faire des démos ultra rigoureuse ici, je veux juste comprendre pourquoi les distributions sont adaptées aux grandeurs physiques, d'où ma ligne ci dessus.

Or, si j'applique la définition "officielle" de la dérivée des distributions, j'aurai en fait :



Ce qui deviendra avec la fonction phi choisie très piquée :



Et pour moi le dirac est plus génant qu'autre chose, il serait logique de trouver que la variation de la température à proximité de la transition vaut la moyenne des T' de part et d'autres de la discontinuité. Je vois pas ce que viendrai faire le terme de saut.

Merci beaucoup !
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[Tryss2]

Et pour moi le dirac est plus génant qu'autre chose, il serait logique de trouver que la variation de la température à proximité de la transition vaut la moyenne des T' de part et d'autres de la discontinuité. Je vois pas ce que viendrai faire le terme de saut.

Prend pour T la fonction de Heavyside. Est ce que physiquement, ça fait sens de dire que la variation de la température à proximité de 0 vaut 0 (= la température ne varie pas)?

[invite02232301]

Bonjour,
Si t_x designe l'opérateur de translation par x agissant sur les fonctions, et Tx l'operateur dual agissant sur les distributions, il est tres facile de prouver que (TxS-S)/x converge dans D' vers S'

[freemp]

Bonjour,

@MiPaMa

Qu'est ce que S, c'est une distribution ? Et d'ailleurs je suis pas sur de comprendre là où vous voulez en venir, pourquoi vous introduisez l'opérateur de translation ??

@Tryss2 :
Pour l'exemple Heaviside -> Oui c'est vrai j'avais même pas pensé à cet exemple pourtant classique... Les distributions devraient indiquer une variation et avec ma définition ça conviendrait pas, on voit donc que la définition officielle semble convenir.
Mais ce qui me gène ici c'est qu'on montre que ça a un sens pour pouvoir traiter les discontinuités, mais on montre pas pourquoi, quel est le mécanisme qui fait que ça marche précisément.

Ce que j'ai essayé de faire suite à votre message c'est de prendre une fonction qui tend vers le Heaviside quand epsilon tend vers 0, mais qui a un raccord sur l'intervalle de type (comme ça j'ai un raccord C infini).

J'ai ensuite dérivé cette fonction et j'ai fait la limite quand epsilon tend vers 0 de la distribution régulière associée à cette fonction dérivée, et je pensais pouvoir faire apparaître le Dirac comme ceci mais sauf que ça marche pas, on peut intervertir limite et intégrale avec cette fonction et je trouve la distribution nulle du coup.

Si j'ai voulu faire ce calcul c'était pour essayer de comprendre ce qui fait que la définition officielle des dérivées de distributions fonctionne bien physiquement avec des fonctions qui ont des discontinuités, car ok le résultat avec le Dirac n'est pas absurde pour un Heaviside, mais ça ne prouve pas que c'est physiquement le bon résultat pour autant. Si par exemple j'avais défini <T',phi>=-10*<T,phi'>, en analysant ce qui se passe sur un Heaviside j'aurai trouvé un résultat pas absurde non plus).
Je sais pas si je suis clair dans ce que je raconte, mais en gros je voudrai comprendre le mécanisme qui fait que la définition des dérivées de distributions convient pour toutes les grandeurs physiques, et pas juste celles qui sont décrites par des fonctions continues.

Merci !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite02232301]

Bonjour,

@MiPaMa

Qu'est ce que S, c'est une distribution ? Et d'ailleurs je suis pas sur de comprendre là où vous voulez en venir, pourquoi vous introduisez l'opérateur de translation ??

Oui, S est une distribution, et j'introduis l'operateur de translation parcce que c'est deja comme ca qu'on définit les dérivées pour les fonctions dérivables.
La dérivée de f c'est la fonction qui est limite de (Tx(f)-f)/x. C'est la meme chose pour les distributions avec Tx(S) l'opérateur dual défini par <Tx(S),f>=<S,T_{-x}(f)>

[freemp]

Ah ok !

Je crois que je vois ou vous voulez en venir, en gros si je fais le calcul avec le Heaviside par exemple de la dérivée en utilisant la définition que vous proposez, en faisant tendre x vers 0, je vais pouvoir faire apparaître le Dirac.

En fait si on comprendre physiquement la dérivée au sens des distributions, il faudrait l'introduire comme étant : lim_x->0(TxS-S)/x (ce qui est directement interprétable physiquement)

Et on se rendrait compte qu'on tombe sur la définition usuelle de <S',phi>=-<S,phi'>.

C'est bien ça ?

[freemp]

Salut !

Donc j'ai vérifié et ok pour la définition des dérivées avec ce que MiPaMa m'a indiqué, je comprends pourquoi c'est physique dans un cas général !

J'aurai néanmoins une autre question dans la même philosophie, liée aux TF de distributions.

On montre facilement que si est dans et si , alors on a bien : .

Et ensuite on généralise à toute distribution comme d'habitude (on pose la définition ).

Mais du coup imaginons qu'on aie une fonction f à croissante lente. On peut tout à fait définir sa distribution.

Par contre si on fait la même démo que plus haut, on ne peut pas montrer vu que f n'est plus L1.

Du coup pourquoi la définition : traduirait une bonne réalité physique ? (C'est vraiment l'analogue de ma question précédente)

Merci beaucoup !

[invite02232301]

En fait, les definitions sont données parce que les seules extensions raisonnables des notions classiques. Dans le sens où ce sont les seules extensions possibles qui donnent le resultat auquel on s'attend quand on applique la nouvelle définition aux anciens objets.
Si f est une fonction dans la classe de schwartz, alors bien sur que sa transformée de Fourier au sens distribution coincide avec celle classique. Ensuite il suffit simplement de remarquer que les fonctions lisses sont denses dans tous les trucs qu'on manipule, et donc il n'y a qu'une extension raisonnable des notions.

Du reste tu sembles melanger des choses, ca n'est pas un theoreme que si T est dans S' alors <F(T),f>=<T, F(f)>, mais bien une définition.
Le theoreme c'est que si f est L1 (ou L2) et g dans la classe de schwartz alors <F(f), g>=<f,F(g)>, ce qui justifie precisément la définition precedente.

[freemp]

Ah ok !

On a la densité de S(R) dans L1, et c'est la raison qui va faire que ça marche physiquement c'est bien ça ?

Je savais pas qu'on avait cette propriété en fait.

Merci !

[invite02232301]

Les fonctions lisses à support compact sont denses dans les distributions pour la topologie faible-* (i.e celle de la convergence simple) sur les distributions. Donc elles sont denses sur tout ce qu'il y a entre les deux.

[freemp]

Re.

En fait je croyais avoir compris mais pas vraiment.

Pour le fait que la TF d'une distribution soit donnée par une définition oui je sais je suis d'accord mais ce que je voulais dire c'est ce que tu dis à la fin de ton précédent message, on est d'accord sur ce point.

Après ce que je comprends pas c'est pourquoi on peut généraliser la définition à n'importe quelle distribution (mathématiquement pas de soucis on a qu'à poser la définition), mais il faut que ça soit valable physiquement quand même sinon on a créé un outil qui sert à rien.

Et pour ce passage là, si j'ai bien compris tu me dis que vu que ça marche sur les fonctions f de classe L1, la généralisation est logique pour le reste vu que la définition qu'on a donné est la seule qui marche pour les objets classiques, donc si on peut le généraliser le seul moyen de le faire c'est en utilisant la même définition.

Et c'est là que je suis pas tout à fait d'accord, OK si on doit généraliser il faudrait utiliser la même définition. Mais qu'est ce qui nous dit que cette généralisation a un sens physique ?
Et c'est là que devrait venir un argument de densité.

Mais par exemple, si je prend f à croissante lente, je vois pas comment justifier que la tf de [f] aurait un sens physique. Je pourrai la définir mathématiquement, mais si je manipule un objet mathématique, qui n'a physiquement pas de sens je ne vois pas à quoi ça servirai en pratique. En gros il faudrait que je puisse trouver une fonction qui tende vers f, telle que pour , la définition de la TF de distribution a un sens physique. Et du coup on pourrait valider le fait que la TF de la distribution f a un sens physique par passage à la limite.

Pourrais tu m'aider à y voir plus clair ?

Merci.

[edit] : si je n'avais pas de soucis à généraliser des définitions, comme celle de la translatée d'une distribution à des distributions qui ne sont pas régulières c'est précisément parce que toute distribution non régulière est limite d'une suite de distribution régulière. Et vu que la définition de la translatée pour une distribution régulière est "logique", appliquer la même définition pour un Dirac par exemple est tout aussi logique et représentera donc bien la physique modélisée derrière.

[invite02232301]

Et c'est là que je suis pas tout à fait d'accord, OK si on doit généraliser il faudrait utiliser la même définition. Mais qu'est ce qui nous dit que cette généralisation a un sens physique ?

L'usage que l'on en fait, quoi d'autre?
Comment tu sais que la dérivée ou la notion de fonction a un sens physique quand on s'en sert pour modéliser des phénomènes physiques?
La c'est la meme chose.

Et c'est là que devrait venir un argument de densité.

Mais par exemple, si je prend f à croissante lente, je vois pas comment justifier que la tf de [f] aurait un sens physique.

Ca tombe bien on peut jamais faire ça a priori. Comment justifier que la transformée de Fourier d'une fonction lisse a un sens physique?

Je pourrai la définir mathématiquement, mais si je manipule un objet mathématique, qui n'a physiquement pas de sens je ne vois pas à quoi ça servirai en pratique. En gros il faudrait que je puisse trouver une fonction qui tende vers f, telle que pour , la définition de la TF de distribution a un sens physique. Et du coup on pourrait valider le fait que la TF de la distribution f a un sens physique par passage à la limite.

Et sur quoi tu te bases pour affirmer que la limite de qqch qui a un sens physique a un sens physique?

: si je n'avais pas de soucis à généraliser des définitions, comme celle de la translatée d'une distribution à des distributions qui ne sont pas régulières c'est précisément parce que toute distribution non régulière est limite d'une suite de distribution régulière. Et vu que la définition de la translatée pour une distribution régulière est "logique", appliquer la même définition pour un Dirac par exemple est tout aussi logique et représentera donc bien la physique modélisée derrière.

Ben, c'est exactement la meme chose ici. La définition de la tranformée de Fourier est tres logique aussi. Pas plus pas moins que celle de translaté d'une distribution.

[invite02232301]

Le fait qu'une generalisation d'un objet soit bonne ou pas (mathématiquement ou physiquement) c'est essentiellement de savoir si les "bonnes propriétés" de l'objet sont conservés par cette generalisation. Ici, non seulement on a qu'un seul candidat possible pour la généralisation, mais toutes les bonnes propriétés de la transformée de Fourier (sauf la formule de Plancherel en fait, mais elle est deja "perue" dans L1) sont conservées.

[freemp]

L'usage que l'on en fait, quoi d'autre?
Comment tu sais que la dérivée ou la notion de fonction a un sens physique quand on s'en sert pour modéliser des phénomènes physiques?
La c'est la meme chose.

Pour les fonctions, quelqu'un qui va mesurer une température le long d'une barre va obtenir des valeurs suivant la position de la mesure et si il les relie entre elle il a une courbe. On peut donc relier ça logiquement aux fonctions mathématiques. Et du pour pour une dérivée ça représente quand même un taux de variation d'une fonction sur un temps très court. Donc une dérivée c'est une variation d'une grandeur physique sur un temps très court.

Alors après bien sur c'est pas de la démonstration mathématique (par exemple si on a une fonction discontinue la dérivée marche plus, d'où les limitations des fonctions), mais je trouve qu'on comprend quand même bien pourquoi les fonctions sont adaptées pour modéliser des phénomènes physiques. Ça se démontre pas rigoureusement, mais on peut au moins avoir un petit feeling de pourquoi ça marche.

Ben, c'est exactement la meme chose ici. La définition de la tranformée de Fourier est tres logique aussi. Pas plus pas moins que celle de translaté d'une distribution.

Imaginons qu'on ait que des distributions régulières, on oublie le Dirac & co.
On prend dans un premier temps une fonction f C infini.

On pose comme définition parce que pour une fonction C infini cette définition semble bien décrire la physique (la théorie basée sur cette définition a donné de bons résultats on va dire).

Et là on dit "ok, donc on va poser la définition de la dérivée d'une distribution régulière comme étant : , et ce peu importe la fonction f, on généralise à tout.

Si on prend un Heaviside, sa dérivée au sens des distributions donnerait 0 ce qui n'est pas physiquement acceptable. Pourtant on a pris comme définition de dérivée de distributions, la généralisation de ce qu'on avait pour des fonctions C infini. Mais sauf que là physiquement ça colle pas.

Du coup j'ai quand même l'impression qu'il faut un petit feeling pour généraliser et pas juste dire que puisque ça marche sur le petit ensemble ça devrait marcher sur le grand.

Alors après en pratique est ce que ça c'est fait de la manière "on va poser comme définition la généralisation de ce qui marchait sur le petit ensemble et on verra bien si ça marche physiquement pour les autres objets". Ça c'est avéré dans le cas des dérivées par exemple et du coup ils se sont dit "Ok, on garde la définition" ???
Un peu comme un modèle physique qu'on a testé suffisamment de fois et on peut dire qu'il fonctionne bien ?

[invite02232301]

Mais quelle est la signification de f' si f n'est pas au moins de classe C1 (oublions pour l'instant les fonctions dérivables non C1, qui sont pathologiques).
Pour les distributions qui ne sont pas de classe C1, y a pas de "conflit". f' n'a qu'un seul sens c'est celui de la dérivée de la distribution associée, puisque precisement f' n'a aucun sens.
Le seul conflit c'est pour les fonctions qui seraient de classe C1, et pour celles là... ben les deux définitions coincident. Je comprend pas vraiment tes questions en fait.

[invite02232301]

Et là on dit "ok, donc on va poser la définition de la dérivée d'une distribution régulière comme étant : , et ce peu importe la fonction f, on généralise à tout.

En fait, j'ai l'impression que ce que tu comprend pas, c'est que ce truc là ne définit rien du tout, puisqu'il n'a aucun sens! J'insiste sur ce point parce que j'ai l'impression que c'est là que tu "accroches". Si H est la fonction de heaviside H' n'a aucun sens. La SEULE définition de H' c'est <H',\phi>=-<H,\phi'>. Y en a pas d'autres.

[freemp]

Re !

Effectivement je ne comprends pas pourquoi tu dis que H' (au sens dérivée de fonction) n'a pas de sens.

Je peux bien dériver une fonction continue par morceaux non ? Ok j'aurai un problème sur les points de discontinuité mais en dehors de ces points là la dérivée existe ?

Pourquoi parler de la dérivée d'une fonction C.p.m n'a pas de sens ?

Merci du temps que tu passes à m'aider en tout cas.

[invite02232301]

Ben, non tu ne peux pas dériver une fonction "continue par morceaux".
Tu peux définir la dérivée en certains points, mais ca ne te donne pas une fonction dérivée.
La dérivée c'est un opérateur D: C1(R)->C0(R) (par exemple) ou D:C1(U)->C0(U) pour U un ouvert de R (ou de R^n).
Qu'est ce que c'est la dérivée de H?
Tu peux définir la dérivée de H restreinte à R privée de 0, mais H n'a pas de dérivée vue comme fonction de R dans R.
C'est bien pour ca qu'on a inventé la notion de distribution, la dérivée est alors un opérateur D: D'(U)->D'(U).

[invite02232301]

Autrement dit c'est quoi ce H' dont tu parles et qui ne fait pas intervenir les distributions? C'est quoi? Une fonction? Si oui, alors quelle est sa valeur en tout point?
Si tu n'as pas réalisé qu'on peut pas faire ca directement, alors tu devrais commencer par là.
La theorie des distributions c'est justement un moyen de faire ca.

[invite02232301]

J'imagine que ce dernier message t'a convaincu?

[freemp]

Salut !

Désolé de pas avoir répondu plus tôt, j'ai d'autres cours à coté.

Il m'a convaincu sur un point (en gros je vois pourquoi on dit que la dérivée de H n'existe pas si on considère les choses proprement comme tu l'as fait).
Mais il y a toujours un truc qui me gène.

Je rédige une réponse plus détaillée en fin d'après midi sur ce qui me gène en détail, je suis encore en cours là.

Merci beaucoup en tout cas.

[freemp]

Re salut.

Désolé d'avance pour le pavé.

Alors en gros voilà où j'en suis :

J'ai compris ce que tu voulais me dire quand la dérivée de H n'est pas définie. Effectivement si on définit proprement la dérivée comme un opérateur dont l'espace d'arrivée est composé de fonctions définies sur un ensemble U. Avec U qui doit être le même que l'ensemble de définition de la fonction dont on est partit, je suis d'accord (bon je suis pas très clair mais je vois ce que tu voulais dire).

Ensuite ce que j'ai compris du truc se résume ci dessous :

Soit une fonction , on sait donc calculer sa dérivée et on sait associer à sa dérivée une distribution régulière (voir ci dessous).


Je considère l'application


En gros c'est l'application qui à une distribution associe la distribution de la dérivée de la fonction. Mais cet opérateur travaille pour l'instant sur l'espace des distributions régulières associées à des fonctions C1 (d'où mon "reg-C1" en indice).

En revanche si on a une fonction qui n'est pas dérivable comme le Heaviside, la seule chose qu'on peut faire c'est un truc du genre (pour l'instant).



Ensuite on se dit : tient, si on utilisait l'opérateur "d" définit plus haut pour des distributions régulières associées à des fonctions C1 mais qu'on l'appliquait sur n'importe quel type de distribution ?

Et du coup on généralise la formule de la dérivée d'une distribution régulière d'une fonction C1, à une distribution quelconque.

Ainsi, on est désormais capable de construire :



On vient de créer la fonction qui représente la flèche en haut qui va de gauche à droite sur le graphique juste au dessus.
Cette flèche, c'est l'application d dont j'ai parlé en amont.

Et d'ailleurs on a en fait pour n'importe quelle distrib :

(pour un dirac par exemple).

Ok, soit.

Maintenant là où je bloque :


----------------------------------------------------------------------------------


Je comprends la logique de la construction : on généralise sur un ensemble plus grand un outil. Mais qu'est ce qui nous dit que cette généralisation va traduire de bon résultats physiques sur les ensembles qu'on a pas testé (comme l'ensemble des distributions non régulières) ? Quand je dis résultats physiques je parle pas forcément de sciences physiques, mais plutôt des résultat qu'on est en droit d'attendre d'une notion de dérivée, à savoir une variation d'une grandeur. Sur les distribtions régulières associées à des fonctions C1 cette fonction donnera de bon résultats physiques par construction. Mais rien ne me garantit que dans un ensemble plus grand ce soit encore le cas.

On pourrait par exemple tout à fait construire un opérateur "new_d", qui vaut d sur et qui vaut une autre application "d2" sur par exemple.

J'ai un exemple concret de ce que je veux dire.

Imaginons qu'on aie une fonction assez bizarre mais en gros son but "physique" (par physique j'entend pourquoi on est intéressé par la fonction) est de nous dire, si on lui donne deux nombres positifs lequel des deux est le plus grand.
Pour se faire elle fait la différence des carré de chacun.

La fonction est donc :


Si c'est positif :
Si c'est négatif :

Maintenant, on cherche à savoir entre deux nombres négatifs lequel est le plus grand.

On se dit "tient si on étendait f aux entiers négatifs". Du point de vue math pas de problème, la formule peut aussi s'appliquer.

Le problème c'est au niveau de l'interprétation physique, ici on aura :

Si c'est positif :
Si c'est négatif :

Pour moi c'est aussi le risque qu'il peut y avoir avec les distributions : on a étendu un objet à un ensemble plus grand. Mathématiquement pas de problème pour le construire, mais quand on devra interpréter les résultats rien ne nous dit que l’interprétation aura toujours le "bon" sens.

Typiquement : qu'est ce qui nous dit que la dérivée d'un Heaviside au sens des distributions nous donnera bien ce qu'on attend physiquement d'une dérivée, à savoir un taux de variation. En l’occurrence sur l'exemple particulier du Heaviside on a un Dirac ce qui a du sens, mais sur un cas particulier plus compliqué on est pas forcément à même de vérifier que ce qu'on a a le bon sens physique ou pas (je sais à quoi m'attendre quand je dérive un Heaviside donc c'est facile de vérifier sur ce cas particulier).

Alors bon en l’occurrence les distributions ont toujours données de bon résultats donc c'est une théorie qui marche.

Mais ce que je cherche à comprendre c'est d'une part :

• Comment on sait que ça marche ?
• Qu'est ce qui fait que ça marche

D'un point de vue historique on s'est rendu compte que ça marchait parce que à l'image d'un modèle ça donnait des bonnes interprétation suffisamment de fois donc la généralisation s'est validée "par l'experience".
Ou alors il y a une logique derrière qui fait que ça fonctionne ce qui ramène au point 2).

C'est ça mon problème.

Voilà, merci et désolé pour le pavé.

[invite02232301]

J'ai pas trop le temps de repondre en details là, mais deja

Typiquement : qu'est ce qui nous dit que la dérivée d'un Heaviside au sens des distributions nous donnera bien ce qu'on attend physiquement d'une dérivée, à savoir un taux de variation.

En fait, le fait qu'une dérivée mesure un taux de variation, on s'en fout un peu en fait. Je dirais meme que c'est une propriété les moins significatives d'une dérivée.
Et les propriétés fondamentales d'une dérivée elles elles sont bien conservées. C'est pour ca que la theorie est bonne. Parce qu'on conserve les propriétés fondamentales de l'operateur de dérivation sur les fonctions. On en perd certains, parfois anecdotiques parfois derangeants (le fait de ne pas pouvoir multiplier des distributions est un vrai probleme), et on en gagne d'autres.

[freemp]

Ok merci.
Répond quand t'as le temps t'inquiète !(mais moi je répond maintenant).

Concernant la dérivée, en fait j'ai trouvé ton premier message (le #3) assez convaincant pour justifier pourquoi est ce que la notion de variation est bien conservée avec les distributions.

Du coup en fait là j'ai pris l'exemple de la dérivée dans mon message précédent parce qu'on était dessus et que j'avais pas compris pourquoi le Heaviside n'était pas dérivable.
Mais en soit le problème que j'ai il est surtout lié à la généralisation de la TF.
Comme le fond du problème est le même qu'avec la dérivée (si on oublie ton message #3), je voulais donc être sur qu'il n'est pas évident qu'en généralisant une notion les interprétations se conservent ce que tu viens de me confirmer du coup (c'était ça qui me posait un gros problème).

En résumé :

Grace à #3 je pense voir pourquoi l'interprétation de dérivée se conserve.

Ensuite on peut se demander pour toutes les petites propriétés comme :

• dilatation
• translation
• multiplication par une fonction

si leur application sur une distribution non régulière quelconque peut s'interpréter comme on s'y attends.

Pour un cas vraiment quelconque je sais pas mais j'ai essayé avec le Dirac :

Le Dirac est interprété comme la moyenne d'un choc dont la durée tendrait vers 0. Ce choc est décrit par une fonction (et on montre comme il existe plusieurs valables, que cette moyenne est la même pour différentes formes de fonctions). La moyenne avant limite s'écrit : .

Ensuite prenons l'exemple de la dilatation.
Si avant le passage à la limite je dilate la fonction par un certain coefficient , j'interprète toujours comme
la moyenne d'un choc, mais le choc serait cette fois dilaté.
En passant à la limite, j'ai la limite qui sera interprétée comme la moyenne d'un choc dont la durée tendrait vers 0.
Quand je calcule la limite de la quantité ci dessus je trouve 1/a*Dirac.

Si j'avais dilaté mon dirac directement j'aurai eu 1/a*Dirac.

Autrement dit : où est l'opérateur qui dilate ma distribution.
J'ai constaté par le calcul que pour le dirac je peux faire rentrer l'opérateur dans la limite.

Du coup j'ai l'interprétation de la dilatation qui convient toujours pour un Dirac avec la définition généralisée.

J'ai vérifié que c'était le cas pour les 2 autres propriétés ci dessus.

Donc les interprétations quand on généralise ces 3 définitions sont conservées avec le Dirac, donc je peux appliquer les nouvelles définitions sur le Dirac sans soucis.

Là où j'arrive pas à comprendre pourquoi la généralisation permet de garder une bonne interprétation, c'est avec la T.F, Il me faudrait un exemple un peu comme celui de #3 pour comprendre mais je vois pas.

Voila, merci !!