anneau

[mona123]

bonjour
pouvez vous s'il vous plait me dire qu'est ce que c'est un anneau d’entiers d'un corps de nombres.
merci en avance
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[invite02232301]

Bonjour,
C'est l'ensemble des entiers sur Z du corps.

[mona123]

donc c'est la cloture integral de Z dans K ?

[invite02232301]

Oui, bien sur.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mona123]

mais qu'elle est la difference entre cloture integral et fermetude integral
en fait je sais que
Soient A c B des anneaux,
et C l’ensemble des b ? B qui sont entiers sur A. Alors C est un
sous-anneau de B, appelé la cloture intégrale de A dans B.
mais j' ai pas compris qu'est ce que c'est la fermetude integral

[invite02232301]

La cloture intégrale c'est la fermeture intégrale dans le corps des fractions.
La terminologie est un peu désuette car (entre autres) en anglais y a qu'un seul mot, c'est integral closure.

[mona123]

donc dans notre cas je croit qu'on parle plutôt de la femeture integral car le corps des nombres n'est pas le corps de factions de Z

[mona123]

en fait je suis entrain de démontrer qu'un anneau d'entier d'un corps de nombre est un anneau de Dedekind
pour cela on commence par montrer qu'il est integre :
soit a,b deux elements de l'anneau d'entier d'un corps de nombre telque ab=0
donc il existe P et Q deux polynomes unitaires à coefficients dans Z telque
P(a)=0 et Q(b)=0 mais je n'arrive pas à montrer que a=0 ou b=0
pouvez vous m'aider s'il vous plait
merci en avance

[invite02232301]

C'est un sous anneau d'un corps, c'est automatiquement intègre.

[mona123]

pouvez vous s'il vous plait m'aider à demontrer qu'il est noetherien

[invite02232301]

Il te suffit de montrer qu'il est de type fini sur Z.

[gg0]

En se faisant aider à 2 endroits, on finit par avoir des informations !