Problème d'optimisation peu commun

[natro]

Bonjour, j'ai le problème d'optimisation suivant que j'ai vraiment du mal à résoudre :
Soit une matrice carte symétrique réelle de taille
1. Chercher tout les vecteurs unitaires qui réalisent le maximum de
Pour cette question, je n'ai pas eu de difficulté en effet on a :

Les maximums recherchés sont donc les vecteurs propres de unitaire associés à la valeur propre $\lambda_max$, la plus grande valeur propre de .

2. Soit un sous espace vectoriel de de dimension . Montrer qu'il existe une matrice de taille telle que les colonnes de engendrent , et vérifiant .
Là je ne sais pas trop comment faire. Mon idée serait:
On pose .
On peut donc poser P la matrice engendrant donc les colonnes de seraient les . Après puisque est la matrice de la base de , Par caractérisation matricielle des bases, est inversible. Donc . Par contre je ne vois pas du tout comment montrer que

3.Soit l'espace des matrices de dimension muni du produit scalaire de Frobenius : . Ecrire le lagrangien du problème:


Sous les contraintes: et

Ici par contre, je bloque, j'ai jamais vu fait un tel problème d'optimisation avec simultanément un max et un min oO.
Quelqu'un pourrait m'aider?
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[Tryss2]

Pour la question 2 :

Je donne d'abord la réponse, et j'explique après : il suffit que les colonnes de P forment une base orthonormale de V.

En effet, si on note les vecteurs colonnes de P, alors d'où le résultat.

Et l'existence d'une base orthonormale de V est garantie par le procédé de Gram-Schmidt.

[natro]

Ah oui, j'y avais pas pensé , merci!