Calcul du reste dans une série de Mac Laurin

[Madlife]

Bonjour, je suis confronté à un problème particulier : je dispose de la marche à suivre, mais la logique d'une des étapes m'échappe et je peur de ne pas pouvoir l'appliquer ultérieurement dans un cadre différent... J'espère que vous saurez m'aider ! =)

On me dit donc :

"cosx ≈ 1- x²/2 + x⁴/24 , error| < 0.005

This is the Maclaurin series (T₄, remember that some terms are 0).
The absolute maximum of sin or cos is 1, so we let M = 1.
For Maclaurin series, a = 0. The 5th derivative of cosx makes another 0 term, so go to the 6th (use n = 5).

|R_n(x)| ≤ 1 |x|⁵⁺¹/(5+1)!

≤ 1 |x|⁶/720

Solve for this less than 0.005."

La partie qui me pose problème est pourquoi utiliser un n=5 donc un R₅ alors qu'on a une série en T₄ ? Ne serait-il pas plus logique d'utiliser n=4 ? Apparemment c'est parce qu'en n=4 donc en appliquant la formule => (4+1) on obtient un nombre nul, car cela correspond à la 5 ème dérivée de cos(0). Mais pourquoi ce soucier de cela alors que dans la formule du calcul du reste le n est au dénominateur et à l'exposant et n'a aucun impact sur f⁽ⁿ⁾(a) dans cette formule...


Admettons que vous m'ayez expliqué, pourquoi prendre n=5 et pas n=3 alors tant qu'a faire ?

Merci beaucoup de votre aide, j'espère avoir été assez clair, si je ne l'ai pas été suffisamment n'hésitez pas à me le dire !

Bonne soirée =)
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[Deathoto]

Bonsoir,

La raison qui explique votre majoration est simple, c'est une "application" directe du Théorème de Taylor-Lagrange.

En temps normal TL s'applique pour une fonction f de classe Cn (si n-1 est l'ordre du développement) sur un segment [a,b], Mc Laurin a juste eu l'idée de particulariser cette formule pour un segment [0,x] ce qui est très pratique.

Ce que dit Taylor-Lagrange est comme suit :



Appliqué selon Mc Laurin nous obtenons la même chose, en plus "pratique" :



Il est important de relever que le dernier terme de ce développement, qui correspond donc à votre reste Rn(x) n'est pas évalué en x, mais en un point c appartenant à ]0,x[
En d'autre termes, c<x . Ici nous n'avons même pas besoin de cette inégalité puisque nous savons que les dérivées du cosinus sont des fonctions sinusoÏdales majorèes par 1.

Donc nous avons :


Votre énoncé donne l'équivalent de la fonction cos(x) pour un développement d'ordre 4 ou 5, tout simplement parceque l'équivalent d'ordre 4 est exactement le même que celui d'ordre 5 dans le cas du cosinus, car comme ils l'expliquent "The 5th derivative of cosx makes another 0 term".

Le reste qui a été explicité dans votre énoncé est d'ordre 5, en reprenant la formule précédente nous avons :



Le reste d'ordre 4 est le suivant :



Et ainsi de suite...

Voilà, bonne soirée.

[Madlife]

Donc si j'ai bien compris j'aurais pu aussi démarrer en n = 4 ?

f(x) = cosx
f'(x) = -sinx
f"(x) = - cosx
f"'(x) = sinx
f""(x) = cosx ///// cos0 = 1
f""'(x) = -sinx /// - sin(0) = 0

Ce qui me pose problème c'est que je ne parviens pas à trouver en quelque sorte le point de vue dans lequel je dois me positionner pour que la 4ème et la 5ème dérivée de cos(a) soient équivalents. Si qui n'est pas le cas dans un premier abord puisqu'on a d'un côté 1 et d'un autre coté 0.

En tout cas merci beaucoup cette premiere réponse, je commence à y voir plus clair =)

[Deathoto]

Attention, j'ai bien dit que le développement limité d'ordre 4 de la fonction cos(x) était équivalent au développement d'ordre 5, de la même façon que son développement d'ordre 2 est équivalent au développement d'ordre 3 etc..
Plus généralement on remarquera que (idem pour la fonction sinus)

Je n'ai pas parlé d'équivalence entre les dérivées. (je suppose que vous connaissez la définition d'un équivalent au sens mathématique, je n'ai pas le temps de m'étaler là dessus malheureusement. )

Le développement limité d'ordre 4 de la fonction cos(x) se présente comme suit :



Il existe un Théorème (de Taylor-Young) qui nous permet de dire que le Reste de Lagrange (ou de McLaurin) est négligeable devant la somme au voisinage de a (Ou pour McLaurin a=0) :



Ce qui nous permet de réécrire :



Par passage aux limites (x --> 0) nous obtenons un équivalent d'ordre 4 de la fonction cos(x) :



En réappliquant le même procédé mais pour n=5 vous allez obtenir la chose suivante :



Ce qui vous donne donc exactement le même équivalent (par passage aux limites) que pour le développement d'ordre 4 que nous avons effectué précedemment.

De façon générale vous pourrez refaire le même raisonnement pour n'importe quel n et n+1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Madlife]

Ainsi, on calcul le polynôme suivant pour trouver le reste. Du coup, dans le cas de n= 4, la formule indiquant (n+1) se voit biaisée par le fait que n+1 est équivalant à n dans le cas de n=4 ?
Et si j'ai bien compris, cette équivalence pose problème pour calculer le reste ??

Dans le calcul que j'ai énoncé dans mon premier post, les réponses diffèrent naturellement selon que l'on choisisse n=4 ou n=5 ou n=6
Pour n= 4, les valeurs de x sont -0.90288 ; 0.90288
Pour n = 5, les valeurs de x sont -1.2379 ; 1.2379
Pour n = 6, les valeurs de x sont -1.5856 ; 1.5856
Et ainsi de suite ; les valeurs de x s'élargissent selon que le polynôme s'élargit, logique.

Je suis bien conscient qu'une équivalence du développement limité en n de cos(x) par rapport à cos(x) exprimé en (n+1) ne mène pas à des restes équivalents eux aussi, mais je voudrais m'assurer que seuls les cas d'équivalence dans les DL impliquent de choisir un n différent tant que le n choisi soit équivalant au n initial (je veux dire qu'il serait incorrect de calculer le reste en n=7 si le polynôme à majorer est exprimé en n=4).

Merci encore de ta patience, je pense que c'est mon ultime question vu que les choses se sont déjà bien clarifiées pour moi !

Cordialement

[Deathoto]

Le but de votre exercice est simple :

Trouver l'ensemble des x qui vérifient l'approximation donnée pour un

A priori vous remarquez que l'approximation donnée est en fait un équivalent d'ordre 4 de la fonction cos(x), vous en déduisez ensuite (d'après le Reste d'ordre 4 de Taylor-Lagrange) un premier intervalle ou x [-1.2379;1.2379].

On aurait pu s'arrêter là et dire S = [-1.2379;1.2379], c'est en réalité faux puisque .

En effet cette approximation correspond aussi à un équivalent d'ordre 5 de la fonction cos(x), donc toujours d'après le Reste d'ordre 5 cette fois ci de Taylor-Lagrange on en déduit un second intervalle qui est [-1.5856;1.5856].

On en deduit

En règle général ce genre d'exercice veut juste vous amener à trouver "le plus grand intervalle" où l'approximation donnée (pour un certain epsilon/erreur) est vraie.

La particularité de celui ci est qu'il utilise la fonction cosinus, qui présente des équivalents identique à 2n et 2n+1. Dans ce cas pour trouver le "plus grand intervalle" des x possible il suffit de prendre le plus grand n, en effet plus votre développement est grand, plus le domaine où votre équivalent approche la fonction à un epsilon donné s'agrandit !

[Madlife]

Oui en effet j'avais compris cela, mais le polynôme de mon exercice est limité en n=4, il ne va pas plus loin ! Du coup il est incorrect de prendre n=12 par exemple (dans ce cas là biensur !).
Et quand je dis Pour n = 5, les valeurs de x sont -1.2379 ; 1.2379 je tiens déjà compte du n+1 dans la réponse du coup je maintiens humblement que la réponse est -1.2379 ; 1.2379 parce que prendre n=6 deviendrait incorrect dans ce cas puisque mon polynôme s'arrête en n=4 et que n=4 est équivalant à n=5 mais n=5 n'est pas équivalant à n=6.

Il y a probablement une incompréhension de votre part au niveau de ma réponse (qui est peut-être mal formulée^^), mais en disant n=5 donne -1.2379 ; 1.2379 je résous bien ainsi :

|x|6/6! < 0.005
x = (3.6)^1/6

Admettre que S = -1.5856 ; 1.5856 voudrait dire que pour la fonction cos, n=4 est équivalent à n=6 alors que si je n'abuse en développant mon énoncé jusque n=6 j'obtiens 1- x²/2 + x⁴/24 - x⁶/720

Cordialement