Sommes, récurrences, suites autour de la suite de Fibonacci

[jjose97]

Bonsoir à tous,

Je suis en première année de Prépa ECE, et j'ai un devoir à rendre pour Lundi. J'ai déjà bien avancé dans le devoir, cependant j'ai des difficultés sur une question.
Cette question se trouve dans un exercice autour de la suite de Fibonacci (F(n+2) = F(n+1) + Fn ; avec pour premier terme, dans mon exercice, F0 = 1). On a noté Pn la somme : Pn = F0 + F1 +...+ Fn.
On me demande de démontrer par récurrence que pour tout n appartenant aux entiers naturels : Pn = F(n+2)-1.
J'ai déjà fait l'initialisation au rang n=1, et j'ai commencé l'hérédité. J'ai supposé que pour un certain n fixé, Pn = F(n+2)-1. Je dois démontrer (me semble t-il) qu'au rang n+1, P(n+1) = F(n+3)-1. Je pars ainsi de P(n+1) = ?.
C'est ici que je me trouve bloqué, d'où dois-je partir?

Merci par avance à ceux qui voudront bien m'aider.
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[gg0]

Bonsoir.

Euh ... F(0) ne suffit pas, il faut aussi F(1). je suppose que c'est F(0)=1.

Sinon, écrire P(n+1) ne pose pas de problème, et comme on voit tout de suite comment utiliser l'hypothèse de récurrence, on a fini en une ligne.

Si tu ne vois pas, écris P5, puis P6 (5+1=6).

Cordialement.

[jjose97]

Bonsoir,
Oui désolé : F0=1 et F1=1 aussi (F2=2, F3=3, etc...).
P5=F7-1=20 et P6=F8-1=33. Cependant, je ne vois pas en quoi ça me permet de le démontrer à tous les rangs, comme je dois le faire avec la récurrence. Je ne comprends pas ce que cela m'apporte (si ce n'est de voir que la formule est très probablement exacte).
Pour arriver au terme de ma démonstration par récurrence, je dois montrer que P(n+1)=F(n+3)-1 en partant de la supposition qu'au rang précédent avec n fixé Pn=F(n+2)-1. Je dois partir de P(n+1) et arriver à l'égalité citée précédemment. Mon problème est que je n'arrive pas à savoir à combien je dois mettre que P(n+1) est égal au départ de ma démonstration.
Comme vous le dites, je ne vois pas comment utiliser l'hypothèse de récurrence, et je ne comprends pas pourquoi vous me dites de regarder P5 et P6. Pourriez-vous m'expliquer où vous voulez en venir par là?

Merci pour votre réponse.
Cordialement.

[gg0]

C'est bizarre que tu ne veuilles pas utiliser la définition de Pn. Comment pourrais-tu démontrer quoi que ce soit seulement avec l'hypothèse de récurrence ?
Je t'ai proposé de me dire ce qu'est P5 et ce qu'est P6, pas d'écrire l'hypothèse de récurrence pour n=5 et n=6.

[A voir en vidéo sur Futura]

[jjose97]

J'ai peut-être compris ce que vous voulez dire (j'espère) : P(n+1)=F1+F2+...+Fn+F(n+1).
Est-ce cela que vous vouliez dire?

[gg0]

Ben ... Que sais-tu d'autre sur Pn ?

[jjose97]

Je prends ça pour un oui, d'autant plus que je l'avais déjà pressenti avant de créer ce sujet. Ainsi, vous confirmez ce que je pensais initialement. Maintenant, j'aimerais savoir comment on passe de P(n+1)=F1+F2+...+Fn+F(n+1) à P(n+1)=F(n+3)-1. J'ai besoin d'aide pour les calculs.

Merci.

[PlaneteF]

Bonsoir,

Maintenant, j'aimerais savoir comment on passe de P(n+1)=F1+F2+...+Fn+F(n+1) à P(n+1)=F(n+3)-1. J'ai besoin d'aide pour les calculs.

On a :

Je te laisse le soin de finir.

Cordialement

[gg0]

C'est quand même un peu surprenant de ne pas voir dans P(n+1)=F1+F2+...+Fn+F(n+1) l'apparition de P(n). Ne faut-il pas mettre cela sur le compte de "j'attends qu'on m'explique" ? Qui interdit de chercher soi-même.

Jjose97, chercher seul, explorer l'énoncé, écrire sur un brouillon quelles sont les hypothèses, regarder "à quoi ça ressemble", tout ça devrait être une attitude naturelle, avant même de demander une aide quelconque. Car depuis le début, planeteF et moi-même enfonçons des portes ouvertes

Cordialement.

[jjose97]

Surprenant certes, pour quelqu'un qui est bon en maths comme vous, ce sont des évidences. Ce n'est pas mon cas. Je sais par ailleurs que j'ai cherché au brouillon avant, et j'ai d'ailleurs fait quasiment toute la question moi-même avant de venir demander de l'aide ici. J'ai seulement eu besoin d'aide pour la fin de la question.
Tout ne vient pas naturellement quand ça concerne les maths, il faut un esprit logique que je n'ai pas. Introduire Pn ne m'est pas venu à l'idée naturellement.
Quoi qu'il en soit, j'ai réussi à finir cette question grâce à l'explication de PlaneteF.

Merci,
Cordialement.

[gg0]

Désolé,

mais être bon en maths n'a rien à voir avec le fait de lire dans F1+F2+...+Fn+F(n+1) qu'il y a F1+F2+...+Fn et que c'est justement P(n). Sauf si on n'a pas en tête l'énoncé. Et on devient bon en maths justement parce qu'on regarde bien, parce qu'on prend peu à peu confiance en sa capacité à voir, à trouver seul et que justement, comme on a confiance, on voit !
Tu avais tout écrit. F1+F2+...+Fn = P(n) aussi, à priori. "L'indication de PlaneteF" aurait dû te faire dire "bon sang ! mais c'est bien sûr! J'avais des peaux de sos devant les yeux !"

[jjose97]

Et bien il faut croire que je n'ai pas confiance en moi mathématiquement. Et oui, je me suis dit "bon sang, comment je n'y ai pas pensé?" quand j'ai vu le message de PlaneteF, mais ça ne m'était pas venu à l'esprit.
Merci pour vos indications, peut-être que cela m'aidera à m'améliorer à l'avenir.