Espace tangent en un point.

[invite52487760]

Bonjour à tous,

D'après les deux liens suivants :
- https://en.wikipedia.org/wiki/Tangent_cone
- https://en.wikipedia.org/wiki/Comple...-adic_topology
Soit une variété algébrique. Soit un point de . Soit l'anneau local de en .
Par la définition proposée dans la page qui fait l'objet du premier lien çi dessus, le cône tangent de X en x est le spectre de l'anneau gradué : .
Sur la page du deuxième lien çi - dessus, on dit que : la base des voisinages ouverts de d'un anneau est données par les puissances où est un idéal propre de muni de la topologie de Krull et de la filtration descendante de R comme indiqué sur ce lien.

Questions :

Pouvez vous m'expliquez svp :
- ... Pourquoi la base des voisinages ouverts de d'un anneau est données par les puissances de ?
- ... Pourquoi intuitivement, le cône tangent de en est ?
- Lorsque le cone tangent est un espace affine, quel est la modification qui se pose sur la notation : qui fait que le cône tangent devient simplement un espace tangent ordinaire de en ?

Merci d'avance.
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[invite52487760]

Salut :

Dans un autre cours, voici brièvement ce qu'on dit :

let be the ring of germs of regular functions on at and the maximal ideal in this local ring. has a filtration by powers of the ideal : , and we define the ring to be the associated graded ring, that is, .
This is by definition generated by its first graded piece and so is a quotient ring of the symmetric algebra :
Now, is naturally the ring of regular functions on the Zariski tangent space , we may define the tangent cone to be the subvariety of defined by this quotient, that is, the common zero locus of the polynomials .

Voilà, je pense avoir saisi le sens de toute cette histoire : ( C'est un texte qui se trouve dans le Harris : page : , Algebraic Geometry ).

Alors, ce que je comprends est que : , non ? nous, on veut avoir : , c'est absurde, où est l'erreur svp ?

Merci d'avance.

Edit : Et pourquoi : d'après ces affirmations de ce cours ?

[invite52487760]

Elle est vraiment bizarre la définition d'un cône tangent algébrique.
Regardez ici : https://ncatlab.org/nlab/show/tangent+cone
Quelle est la différence entre : et ?

[invite52487760]

Bonsoir à tous,

Pouvez vous me clarifier svp un passage qui figure à la page : du pdf suivant : https://webusers.imj-prg.fr/~jean-fr...Alg/GA0910.pdf ?
Vers la fin de la page : , l'auteur affirme :
En effet, pour toute -algèbre plate sur et tout , en notant l'idéal de engendré par et , on a des isomorphismes canoniques : et

Ma question est de savoir s'il n'y'a pas eu une erreur de frappe par hasard, au lieu que l'auteur note : , il note : , parce que à mon sens, est un idéal de , c'est vrai que est une - algèbre mais l'homomorphisme d'anneaux qui permet d'affirmer que est une - algèbre n'est pas forcément injectif à moins que soit un corps, mais ce n'est pas le cas là, et donc : n'est pas un idéal de , non ? Ou bien, il y'a un truc dissimulé que je loupe. . Où est le hic ?

Merci pour votre éclairage.

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