Aide avec les espaces vectoriels

[laurasdc]

Bonjour

Je travaille en ce moment sur les espaces vectoriels, mais étant en cours à distance, je ne comprends pas grand chose. En général, le plus simple avec l'algèbre (pour moi) est de regarder les exercices types et leur correction pour avoir la méthode en tête, ensuite le processus est toujours le même et j'arrive à comprendre le cours à la fin.

Du coup, je me demandais si quelqu'un pouvait m'aider et m'expliquer la démarche pour les questions auxquelles je dois répondre, car là, je bloque.

J'ai d'abord montré que E était un sous espace vectoriel de R^3 avec 2x +2y - 3z =0
J'ai trouvé la méthode à suivre sur internet, c'était assez simple j'ai donc traité cette question.

Je dois ensuite trouver une base de E. J'ai plus ou moins compris ce qu'était une base (le plus petit nombre de vecteurs qui sont indépendants et peuvent recréer tous les autres vecteurs de la base), mais je ne sais pas comment la trouver. J'imagine qu'il faut utiliser l'équation mais je suis un peu perdue, du coup si quelqu'un pouvait me montrer les étapes a suivre (avec un autre exemple et une autre équation comme ca je pourrai essayer de faire celui ci toute seule), ce serait vraiment sympa et ca m'aiderait beaucoup !

Je dois ensuite trouver la dimension, mais j'imagine que cela dépend du nombre de vecteurs dans la base donc rien de compliqué.

Enfin dernière question, je dois montrer que (1,2,2) et (-1,4,2) forment une famille libre de E et sans autre calculs monter que cette famille de vecteurs est une base de E.
Je pense avoir une idée de comment faire (montrer que les deux vecteurs sont indépendants, puis en déduire que c'est donc une base de E) mais cela reste tout de même flou et pas précis.
En revanche, je constate que E peut avoir plusieurs bases, je ne comprends pas trop comment c'est possible mais je pense que je comprendrais en voyant le fonctionnement de la question 1 et de cette dernière question.


Merci par avance, et désolée pour toutes ces questions !

Bonne soirée
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[theophrastusbombastus]

Bonsoir,

alors pour trouver votre base vous avez plusieurs méthodes, selon si vous êtes à l'aise ou si vous avez besoin de rigueur. On va commencer par la méthode "intuitive" (ma préféré) :

le mieux avec les E.V c'est d'arrivé a se les représenter, c'est "super simple" quand on bosse dans pour le coup votre équation cartésienne représente quelque chose de concret a visualiser : Un plan !
On vas prendre une autre équation et appliquer les démarches "standards"
montrer que c'est un SEV de vous savez le faire. Ensuite trouver une base, ou bien on le fait a la sagouin en balançant que c'est un plan donc si on prend deux vecteur libre (car un plan,euclidien et au sens courant du terme, est de dimension deux) ils seront générateurs et là on en prend deux au hasard qui marchent par exemple et ils ne sont pas colinéaires donc libre c'est une base.
Apres un peu mieux, on peut regarder d'un peu plus pres notre equation. Comme ca il semble y avoir 3 inconnus mais en écrivant simplement on vois qu'une des composantes est fonction des deux autres, donc les vecteurs

de notre EV peuvent s’écrire comme suit :

donc une base possible de notre EV est :


Bon apres la dimension on l'a plus ou moins fait, pour les EV de elle correspond aux nombres de vecteurs constituant la base, donc 2.

Montrer qu'une famille de vecteurs comme : et est libre reviens a résoudre l'équation suivante :
et montrer que la seule solutions est
mis sous une autre forme c'est un système d’équation :

Ensuite petit raisonnement, dans deux vecteurs libres sont forcements generateur ergo c'est une base (j'ai peut etre sauté quelques etapes là... le SEV donné par notre équation est de dimension 2, il lui est analogue, d'où le raisonnement).
Et le fait qu'une base ne soit pas uniques est "logique", une glace a une boule reste une glace a une boule, même si le parfum est différent (glace= espace vectoriel et parfum= base de notre espace vectoriel... j'ai vraiment des exemples nuls)

en espérant vous avoir un peu aidé !

[laurasdc]

Bonsoir


Merci beaucoup pour cette réponse super précise, cela m'aide énormément ! Je n'ai pas le courage de faire mes exercices ce soir mais je m'y mets dès demain matin, je repasserai par là si cela ne fonctionne pas.

En revanche, question bête, mais comment êtes vous passé de l'étape où vous exprimez z en fonction de x et y, à celle où vous avez deux vecteurs ? Avez-vous pris des "chiffres" au hasard jusqu'à en trouver qui fonctionnait ou y'a t-il un système d'équation à résoudre ?
Ce n'est probablement pas très compliqué mais j'avais déjà vu cette étape en lisant des astuces sur un forum, et je m'étais posée la même question ... Ici, il est en effet assez aisé de trouver 1 et 0, mais si l'équation de départ est un peu plus compliqué je ne suis pas sûre d'y arriver à "tâtons", du moins pas sans perdre un temps fou

En tout cas encore merci d'avoir pris le temps de m'expliquer, je suis sûre que je vais pouvoir terminer mon DM plus ou moins correctement maintenant

[theophrastusbombastus]

humm en détaillant le calcul dans l'autre sens :

donc aucunement besoin de chercher UNE combinaison qui marche (d'ailleurs en math JAMAIS) il suffit de factoriser les termes en fonction de et (humm j’espère que l'explication est claire mais j'ai un peu de mal a expliquer certaine démarche).

En général a tâtons on y arrive tres bien une fois qu'on a l'habitude car on sait où et quoi chercher, mais selon les profs sur lesquelles vous tomberez il faut faire attention lorsqu'on fait quelque chose "avec les mains"... surtout avec les mathématiciens.

Bonne chance pour le DM.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bizarre, cette "explication" :
"selon les profs sur lesquelles vous tomberez il faut faire attention lorsqu'on fait quelque chose "avec les mains"... surtout avec les mathématiciens."
Le mathématicien ne s'intéresse qu'à une chose : une preuve correcte.Qu'elle soit faite "avec les mains" ou bien par l'application de règles, la seule chose importante c'est la justesse de la preuve.
Il est trop facile de dire "c'est le prof qui est pénible" quand on ne se rend même pas compte qu'on ne prouve rien.

Dans le cas qui est en cause ici, trouver la dimension, la preuve est tout à fait correcte si on exhibe une base, même trouvée par tâtonnements (on ne rédige évidemment pas les tâtonnements).

Cordialement.

[laurasdc]

Bonjour !

En tout cas, j'ai tout réussi pour l'instant !

J'ai trouvé deux vecteurs (1,0,2/3) et (0,1,2/3) et j'ai pu faire la suite du DM tranquillement.

La seule chose est que j'ai ensuite du prouver que (1,2,2) et (-1,4,2) étaient une famille libre (ce qui est fait), mais je dois maintenant prouver sans calculs que c'est une base de E. Le fait que ce soit une famille libre de E et de dimension 2 suffit il à le justifier ou y'a t-il une autre condition à ajouter ?


Par ailleurs, je n'avais pas vu cette question, mais je dois déterminer quelles sont les combinaisons linéaires de (1,1,0) et (1,1,1) qui appartiennent à E. J'ai toujours un peu de mal avec le terme combinaisons linéaire que je trouve un peu flou ... Encore une fois, j'imagine que c'est assez simple à manipuler, mais en voyant la question comme ca je suis un peu perdue !

Encore merci, vous m'avez vraiment aidée et je suis sûre de maîtriser une bonne partie de ce qui peut être demander aux partiels maintenant !

[theophrastusbombastus]

Bonjour,
pour justifier que vos deux vecteurs sont une base de il suffit d'expliquer que :
" est de dimension 2, donc 2 vecteurs libres de permettent de générer tout le SEV , les deux vecteurs sont donc une base"
ce que l'on peut ecrire où et sont vos deux vecteurs.

Apres c'est ce que j'expliquais, je suis deja tombé sur des profs ou la justification ne leur suffisaient pas, il fallait démontrer que la famille était libre ET qu'elle était génératrice... Mais c'est rare et il l'a demander une fois pour être sur qu'on avait compris.

Ce que l'on appelle combinaison linéaire c'est tout simplement quand on se limite a additionner les vecteurs et les multiplier par un scalaire (en gros...).
Donc ici on vous demande "quelles sont les combinaisons linéaires de (1,1,0) et (1,1,1) qui appartiennent à E". Je vous ai montrer un peu plus haut dans la discussion comment on "caractérisait" les vecteurs qui appartenaient au sous espace vectoriel du plan, dans votre cas tout les vecteurs de se notent :


donc trouver les combinaisons linéaires de vos vecteurs qui appartiennent a ca reviens a écrire en math :

et la le but de la question c'est d'exprimer et en fonction de et . Vous aller trouver des conditions pour lesquelles l’équation sera verifier, ce sera les combinaisons linéaire qui appartiennent a .
(Si l'explication n'est pas claire redemandez j'essayerai d'expliquer cela plus en détaille... c'est pas un des concepts les plus facile a comprendre sur les EV).

[gg0]

Si tu sais déjà que E est de dimension 2, le fait d'avoir une famille libre à 2 éléments fait que tu sais que c'est une base. Si tu cherches à déterminer la dimension de E, qui peut être 0, 1, 2 ou 3, il faut prouver que c'est une partie génératrice, ou utiliser une autre règle (par exemple ici montrer que E n'est pas de dimension 3, donc qu'il est de dimension au plus 2, et comme il est de dimension au moins 2 ..).

Pour ton autre question, une combinaison linéaire de U et V est simplement une écriture aU+bV où a et b sont des nombres, connus ou inconnus. Donc dans ton cas, tu prends a(1,1,0)+b(1,1,1) et tu cherches comment sont a et b pour que ce soit un élément de E.

Cordialement.

[laurasdc]

Bonjour

Merci beaucoup

Cela me semble plutôt clair (je crois), dès que l'on m'explique la traduction de maths à "français" à re-maths tout devient plus facile !

J'ai trouvé a = - x/3
b = - 4x/3

Je ne sais pas si je ne me suis pas plantée, mais si jamais mes résultats sont bons, que dois-je écrire pour que la rédaction soit bonne une fois que j'ai a et b ?
Simplement : "les combinaisons linéaires de E sont donc -x/3 (1,1,0) - 4x/3 (1,1,1)" ?

Merci

[gg0]

Une bonne réponse serait : "Une combinaison linéaire a(1,1,0)+b(1,1,1) est dans E si et seulement si ..."
Mais ta réponse est bien compliquée : x est quelconque, donc -x/3 est un réel quelconque. Donc la seule condition est b=4a.
On y arrive d'ailleurs tout de suite en écrivant :

Tiens donc ! Je ne trouve pas comme toi; tu es sûre de tes signes ?
Conclusion : Une combinaison linéaire a(1,1,0)+b(1,1,1) est dans E si et seulement si b=-4a.

Cordialement.

[laurasdc]

Rebonjour

En fait, j'ai fait n'importe quoi.
J'ai bien fait le début mais j'ai ensuite identifié (a+b, a+b, b) avec le vecteur u trouvé au tout début (x,y, 2/3x + 2/3y)
En fait, quand on se contente de remplacer les coordonnées (a+b, a+b, b) dans l'équation de E c'est en effet bien plus simple et bien plus rapide ....!

En revanche, je trouve du coup b = -4a, mais je pensais que ce n'était pas suffisant et qu'il fallait ensuite exprimer cela en fonction de x et y ?

[gg0]

Ben ... pourquoi ? On répond bien à la question, non ?

Bon apprentissage !

[laurasdc]

Oui c'est vrai, je ne sais pas pourquoi j'ai pensé cela

Devoir fini en tout cas, encore merci !

Bonne fêtes