Comment calculer le DL de cos(2x) à l'ordre 4 ?

[Perfectina]

Bonjour,
Bonne année !

On m'a dit que pour calculer le DL de cos(2x), il fallait remplacer dans cos(x), x par 2x...
A l'ordre 4 !

Sauf que je trouve ça :
cos(x) = 1 - x^2/2 + x^4/24 + o(x^4)
cos(2x) = 1 - x^2 + x^4/12 + o(x^4)...

C'est ça ?
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[Tryss]

Non. Le DL de cos(X) à l'ordre 4 est 1 - X^2/2 + X^4/24 + o(X^4)

Donc en posant X=2x, le DL à l'ordre 4 de cos(2x) est 1 - (2x)^2/2 + (2x)^4/24 + o((2x)^4)

Je te laisse développer

[Perfectina]

Ah d'accord il faut les mettre entre parenthèses ! J'ai appris un truc, merci !

Donc le développement donne : cos(2x) = 1 - 2x^2 +2x^4/3 + o(4x^4).

En fait, on doit faire le DL (à l'ordre 4) de cos(2x)^(3/x^2). Que j'ai réécrit exp(3/x^2 ln(cos(2x))).
Donc là je vais noter ln(1+u)=u - u^2/2 + o(u^2) avec u = - 2x^2 +2x^4/3 + o(4x^4). C'est bien ça ?

[Tryss]

Voila, c'est l'idée

[A voir en vidéo sur Futura]

[Perfectina]

Donc j'ai trouvé :

ln(cos(2x)) = -2x^2 - 4x^4/3 + o(x^4)
C'est bien cela ?

Et ensuite, comment je dois faire ? Je multiplie ce résultat par 3/x^2, puis j'utilise le DL de l'exponentielle ? Merci bcp ^^

[Tryss]

Ceci dit, attention à l'ordre final de ton DL : comme tu divises par x², tu va "perdre" deux ordres