densité de proba : normale au carré sur normale au carré

[nelbekri]

Bonjour,

Comme indiqué dans le titre de cette discussion je souhaite calculer la densité de probabilité suivante de la variable aléatoire suivante

avec les deux variables aléatoires indépendantes entre elles et de loi normale centrée réduite (espérance nulle et variance = 1)


Merci beaucoup pour votre aide
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[minushabens]

vois du côté de la loi F de Fisher & Snedecor

[nelbekri]

Une personne m'a répondu en me disant que c'est une loi de cauchy mais en regardant sur wikipedia je trouve que le rapport de deux v.a normale indépendantes est une loi de cauchy, mais moi j'ai des v.a au carré.
Pour la loi de Fisher, qui est un rapport de deux lois de Student ne me satisfait pas car moi il faut que je trouve la densité.

[gg0]

Bonsoir.

En l'écrivant , on voit qu'il s'agit bien du quotient de deux lois du khi-deux, donc à un coefficient près, d'une loi de Fischer.
je n'ai pas compris pourquoi tu parles de lois de Student pour la loi de Fischer.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[minushabens]

attention :alpha+beta et beta ne sont pas indépendantes. Je pense qu'il vaut mieux oublier le +1 et trouver la loi de alpha/beta

[nelbekri]

C'est vrai t'as raison je me suis trompé le rapport de deux Khi-deux c'est une Fischer (j'ai mélangé avec Student) par contre comme précisé par minushabens il faut qu'elles soient indépendantes. Certes sont indépendantes mais ne le sont pas. Il faut pas non plus oublier qu'il faut diviser par le degré de liberté des Khi-deux (2 et 1 respectivement). De plus la densité de probabilité n'est pas évidente à écrire, et cette question a été posée dans un exam où on est pas censé utiliser des khi-deux et des Fischer, donc je cherche plutôt une solution classique en posant par exemple et de partir de P(Z<z) et de dériver ensuite par rapport à z pour trouver une densité.

[minushabens]

comme je disais plus haut, le terme +1 tu peux l'oublier dans un premier temps et calculer la densité de alpha^2/beta^2, ensuite il n'y a qu'un changement de variable à faire (et des plus triviaux). Maintenant, le rapport en question est le carré de alpha/beta, qui suit la loi de Cauchy. Donc tu dois écrire la densité du carré d'une variable de Cauchy.