Questions sur le nombre e (d'Euler)

**Médiat** · 28/01/2016, 13h17

Envoyé par minushabens

D'un autre côté la résolution du problème de l'aiguille de Buffon passe par la notion de distribution isotrope et donc de mesure uniforme sur le cercle. La géométrie n'est jamais loin...

Certes mais je n'ai pas écrit "dans la démonstration de" mais "jeter des aiguilles sur un parquet" (ni les unes ni l'autre ne nécessitent le moindre cercle), et si je relève (et non calcule) le ratio des aiguilles qui coupent une ligne, pi apparaît (avec le nombre de décimales dépendant du nombre d'aiguilles jetées (toujours pas de cercle))

**minushabens** · 28/01/2016, 13h21

En effet le jet d'aiguilles sur un parquet n'a que peu de rapports avec les mathématiques. La modélisation probabiliste de cette expérience en revanche fait appel à la notion de mesure invariante par les rotations (ou mesure isotrope) qui elle a un rapport évident avec le cercle, à mon humble avis.

**Médiat** · 28/01/2016, 13h29

J'ai eu peur que quelqu'un ne m'oppose, avec mauvaise foi

, que la section droite d'une aiguille est ... un cercle

.

**stefjm** · 28/01/2016, 15h01

Envoyé par gg0

Stefjm,

le mot "cyclique", originellement lié à l'idée que les planètes tournent en cercle autour de la terre et reviennent périodiquement à la même place dans le ciel, s'est étendu pour signifier "répétitif" ou "périodique". mais dans ces acceptions (comme dans les cycles économiques), il n'y a plus de rapport avec le cercle.
Je ne nie pas qu'on a un lien entre certaines notions et le cercle, ni qu'il y ait un rapport fort entre pi et le cercle (par l'exponentielle complexe), je nie que toute advenue de pi soit le fait d'un cercle. Même si on peut toujours faire apparaître un lien puisque pi en a un.

Je suis tout à fait d'accord avec ce point. C'est le "n'a rien à voir avec le cercle" qui m'a fait réagir.

Envoyé par gg0

Et l'insistance sur pi est très souvent liée à des relents de pensée magique sur les nombres, au fait de vouloir faire jouer un rôle particulier à ce nombre parce que c'est le premier qu'on rencontre et qui n'est pas décimal (on rencontre les racines carrées bien après, sans en faire un drame, sauf le prétendu "nombre d'or", lui aussi teinté de pensée magique.
Il est d'ailleurs remarquable que le sujet de ce fil de discussion est totalement oublié, alors que e a un fort rapport lui aussi avec le cercle

Je n'avais pas eu l'impression qu'il était question de pensée magique sur les nombres dans ce fil. Juste la remarque de Ame_curieuse concernant $\text{[math]}$ et le cercle.
Pour moi, $\text{[math]}$ est plus traumatisant que $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ car on ignore encore s'il fait parti ou non de l'algèbre des périodes.
On peut écrire

$\text{[math]}$ comme 1/2 périmètre ou aire ou 3/4 volume de boule.

Cela marche aussi pour les racines et les logarithmes:

$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Mais pas pour $\text{[math]}$ , ni $\text{[math]}$ !

D"un autre coté la fraction continue de $\text{[math]}$ est très facile, contrairement à celle de $\text{[math]}$ qui résiste encore ...

e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1, 1, 14, 1, 1, 16, 1, 1, 18, ...]
pi = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, ...]

Puisqu'il a été question de statistique, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont reliés par l'intégrale de Gauss :
$\text{[math]}$

Cordialement.

**gg0** · 28/01/2016, 15h56

Ils sont bien plus reliés par la formule d'Euler
$\text{[math]}$

Cordialement.

**gg0** · 28/01/2016, 15h57

Médiat,

j'anticipais seulement sur les contradictions.

Cordialement.

**stefjm** · 28/01/2016, 16h42

Envoyé par gg0

Ils sont bien plus reliés par la formule d'Euler
$\text{[math]}$

D'où l'intérêt de la base $\text{[math]}$ dite constante de Gelfond https://en.wikipedia.org/wiki/Gelfond's_constant

**Ame_curieuse** · 29/01/2016, 14h51

Envoyé par gg0

Désolé, Ame_curieuse,

mais pi en mathématiques est défini correctement sans le cercle.

Je ne demande qu'à connaitre cette définition alors ! Mais quelque chose me dit que d'une manière ou d'une autre, cette "définition" a un lien avec le cercle

En fait, par "lien avec le cercle", il n'est pas forcément question d'un cercle trigo ou d'un cercle dessiné sur un cahier d'écolier. Cela peut également revenir sur toute chose qui a les mêmes caractéristiques que le cercle, qui peut être "exprimé" ou "modélisé" par l'idée du cercle. Une fonction périodique : toutes les "période", X revient à sa "position de départ" ; toutes les "périodes", (X+dx) retrouve "sa valeur" de départ : quoi de mieux qu'un cercle pour modéliser cela, puisqu'un cercle, par définition, c'est : "se retrouver à la case départ tous les "2pi")?

Et puis gg0, tous les exemples que vous avez donnés pour appuyer le fait que "pi peut ne rien à avoir avec le cercle"... ont un lien avec le cercle justement. Exemples :

Envoyé par stefjm

Faut-il parler de cyclique ou de périodique?

Il me semble que quoi qu'on fasse, il sort des $\text{[math]}$ de normalisation dès qu'il est question de période.

Envoyé par minushabens

En effet le jet d'aiguilles sur un parquet n'a que peu de rapports avec les mathématiques. La modélisation probabiliste de cette expérience en revanche fait appel à la notion de mesure invariante par les rotations (ou mesure isotrope) qui elle a un rapport évident avec le cercle, à mon humble avis.

Ce lien est, à mon sens, obligatoirement présent, puisque dès le départ, nous avons défini Pi comme étant l'expression d'un rapport entre un périmètre de cercle et son diamètre. Ainsi, Pi ne peut pas surgir du néant, s'il en est question dans le résultat d'une formule mathématique, c'est que forcément, dans la méthode d'effectuer ce calcul, on a fait appel à des notions qui ont un lien avec le cercle (au sens propre, figuré, en tant que modèle, etc). Autrement, on n'a pas le droit de parler de pi, mais d'autre chose.

Donnez moi UN SEUL EXEMPLE qui sorte de ce cadre svp

! J'aimerais tant comprendre pourquoi pour vous, ce n'est pas si évident.

Pour ce qui est de "e", c'est bien plus compliqué j'ai l'impression. Je ne vois toujours pas "ce qui le définit" ni la façon dont il a été calculé historiquement ! ce qui fait que c'est "e" et pas autre chose... à l'instar de "pi" ! Avec ce fil, j'ai compris que la piste de la dérivée 1/X offre probablement la meilleure piste, mais toujours est-il que je ne comprends pas comment qu'il a été découvert, lui et le logarithme naturel ! Comment ont-ils été inventés, step by step ! "e" est fortement utile en science, en économie, en biologie... Il a sa place ! Mais alors comment est-on arrivé à le "découvrir" ?

**Médiat** · 29/01/2016, 15h00

Envoyé par Ame_curieuse

Ce lien est, à mon sens, obligatoirement présent, puisque dès le départ, nous avons défini Pi comme étant l'expression d'un rapport entre un périmètre de cercle et son diamètre.

Autrement dit tout lien avec pi a lien avec le cercle puisque pi a un lien avec le cercle, voici qui ressemble fort à un argument circulaire sans faire intervenir pi.

De plus je ne vois toujours pas de cercle dans mon message #31 (sauf avec votre argument)

**Ame_curieuse** · 29/01/2016, 15h25

Envoyé par Médiat

Autrement dit tout lien avec pi a lien avec le cercle puisque pi a un lien avec le cercle, voici qui ressemble fort à un argument circulaire sans faire intervenir pi.

Très subtile

! M'en fait, l'argument circulaire peut ne pas faire intervenir pi... c'est l'inverse qui n'est pas vrai : pi fait intervenir, d'une manière (directe) ou d'une autre (indirecte) la notion de cercle.

Envoyé par Médiat

De plus je ne vois toujours pas de cercle dans mon message #31 (sauf avec votre argument)

Mais la coupe de section d'une aiguille est bien circulaire hein

Blague à part, à ce propos, je partage l'avis de minushabens :

Envoyé par minushabens

En effet le jet d'aiguilles sur un parquet n'a que peu de rapports avec les mathématiques. La modélisation probabiliste de cette expérience en revanche fait appel à la notion de mesure invariante par les rotations (ou mesure isotrope) qui elle a un rapport évident avec le cercle, à mon humble avis.

**gg0** · 29/01/2016, 16h06

Ame_curieuse,

on ne te convaincra pas, puisque tu ramènera toujours tout à ta définition de Pi par le cercle. Mais voici la définition moderne, qui utilise comme base la théorie des ensembles, les ordinaux, la construction de $\text{[math]}$ , puis $\text{[math]}$ , puis $\text{[math]}$ , puis $\text{[math]}$ et enfin $\text{[math]}$ ; ensuite les propriétés des suites et séries, et les séries entières :
On définit $\text{[math]}$ comme étant le plus petit entier strictement positif qui annule la fonction c définie par la série entière :
$\text{[math]}$

Et pour t'aider à retrouver ton cercle, c est simplement l'habituelle fonction cosinus. Sauf qu'on n'a jamais fait de géométrie pour en arriver là.

Cordialement.

**Juzo** · 29/01/2016, 16h27

C'est un peu le serpent qui se mord la queue (une nouvelle image du cercle ! ) mais je suis totalement d'accord avec Ame_curieuse. Il se trouve que pi est le rapport du périmètre d'un cercle avec son diamètre. A chaque fois qu'on fait apparaitre Pi dans une situation on fait apparaitre ce rapport, donc la situation peut nécessairement être reliée à cercle. Même si on part d'un autre formalisme pour trouver Pi on retombe nécessairement sur une équivalence avec de la géométrie, comme l'illustre parfaitement l'exemple de la fonction cosinus. Pour moi il est faux de dire qu'on a pas fait de géométrie, je pense qu'on a fait de la géométrie sans vouloir en faire. Ce n'est que mon humble avis, mais ça fait un soutien de plus pour Ame_curieuse ; )

**gg0** · 29/01/2016, 17h06

"on a fait de la géométrie sans vouloir en faire" !!! Bel argument imparable, donc sans signification.

Bien évidemment, on fera toujours le lien avec le cercle puisque c'est ainsi qu'est apparu Pi historiquement. Et c'est toujours le même nombre. Donc ça n'a aucun intérêt de dire qu'à chaque fois qu'on trouve pi comme résultat, c'est parce qu'il y a un cercle en cause : Il y a un cercle parce qu'on le met.
Mais ce genre de discussion se retrouve toujours à propos des deux nombres "magique", pi et le "nombre d'or", jamais à propos d'autres : personne n'a tenu le raisonnement que chaque fois qu'on trouve e, c'est qu'il y a un logarithme en cause. Pourtant, c'est bien le cas

Je crois qu'il est inutile de continuer, on a fait le tour ... du cercle.

**Juzo** · 29/01/2016, 18h56

Un argument imparable n'est pas toujours sans signification ; )
Mon argument avait l'air fumeux, je voulais dire que tout réalité ou modélisation sous-jacente à un calcul est forcément liée au cercle. Qu'on ne me dise pas que la moyenne de progénitures par femelle castor de colombie tend vers pi ! Par contre la reproduction des lapins donne une évolution exponentielle...
Mais je suis d'accord pour boucler la boucle ! ; )

**stefjm** · 30/01/2016, 19h11

Envoyé par Ame_curieuse

Pour ce qui est de "e", c'est bien plus compliqué j'ai l'impression. Je ne vois toujours pas "ce qui le définit" ni la façon dont il a été calculé historiquement ! ce qui fait que c'est "e" et pas autre chose... à l'instar de "pi" ! Avec ce fil, j'ai compris que la piste de la dérivée 1/X offre probablement la meilleure piste, mais toujours est-il que je ne comprends pas comment qu'il a été découvert, lui et le logarithme naturel ! Comment ont-ils été inventés, step by step ! "e" est fortement utile en science, en économie, en biologie... Il a sa place ! Mais alors comment est-on arrivé à le "découvrir" ?

La partie entière E du logarithme log d'un nombre x donne le nombre de chiffre Nb moins 1 de la partie entière de ce nombre.

E(log(x))=Nb(E(x))-1

C'est donc assez tentant de calculer le rapport x/log(x).
Ce rapport passe par un minimum pour x=e.
Si en plus, le logarithme est à base e, la valeur du minimum vaut e.

**Médiat** · 30/01/2016, 19h24

Bonsoir,

Une apparition inattendue de e : http://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/530438-contributions-forumeurs.html#post5381177 (et il y a d'autres exemples)

**stefjm** · 30/01/2016, 19h31

Envoyé par gg0

Mais ce genre de discussion se retrouve toujours à propos des deux nombres "magique", pi et le "nombre d'or", jamais à propos d'autres : personne n'a tenu le raisonnement que chaque fois qu'on trouve e, c'est qu'il y a un logarithme en cause. Pourtant, c'est bien le cas

Pour une fois qu'on a une discussion sur e, on ne va pas se plaindre...

Pour Ame curieuse :
http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgv...orm.htm#calcul
http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgv...se/ExpoVal.htm

**stefjm** · 31/01/2016, 15h34

Envoyé par Médiat

Bonsoir,

Une apparition inattendue de e : http://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/530438-contributions-forumeurs.html#post5381177 (et il y a d'autres exemples)

Merci Médiat.
Je suis intéressé par les apparitions de 1-1/e=(e-1)/e

**Médiat** · 31/01/2016, 15h39

Bonjour,

Vous pouvez regarder là, au chapitre dérangement, une autre apparition de e :http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post4570545

**stefjm** · 31/01/2016, 16h07

Merci.
Je vois les contributions des forumeurs se sont bien étoffées. Je vais avoir de quoi lire pour un moment.
J'avais oublié la formule de Stirling qui relie e, pi et les grands nombres.

**Ame_curieuse** · 01/02/2016, 14h28

Wow !!!! Merci beaucoup à tous !!!!

Envoyé par gg0

On définit $\text{[math]}$ comme étant le plus petit entier strictement positif qui annule la fonction c définie par la série entière :
$\text{[math]}$

Et pour t'aider à retrouver ton cercle, c est simplement l'habituelle fonction cosinus. Sauf qu'on n'a jamais fait de géométrie pour en arriver là.

Cordialement.

CQFD

! Mais ce que vous avez écrit par la suite me porte à croire que nous sommes d'accord sur le fond :

Envoyé par gg0

Donc ça n'a aucun intérêt de dire qu'à chaque fois qu'on trouve pi comme résultat, c'est parce qu'il y a un cercle en cause : Il y a un cercle parce qu'on le met.

C'est exactement ce que je me suis évertuée à vous dire : le cercle n'est pas forcément "directement en cause" ! Pas du tout ! Si Pi est dans le résultat, assez souvent, c'est que "parce qu'on le met" ! On utilise ses propriétés (angles, trigo, périmètre, surface, etc) dans notre approche du problème. Après, comme dirait Juzo, on peut partir d'un autre formalisme pour trouver pi, ça n'y change rien.

Et je suis tout aussi d'accord pour en rester là avec pi, parce que finalement... on "tourne en rond"

**Ame_curieuse** · 01/02/2016, 14h29

Envoyé par stefjm

La partie entière E du logarithme log d'un nombre x donne le nombre de chiffre Nb moins 1 de la partie entière de ce nombre.

E(log(x))=Nb(E(x))-1

C'est donc assez tentant de calculer le rapport x/log(x).
Ce rapport passe par un minimum pour x=e.
Si en plus, le logarithme est à base e, la valeur du minimum vaut e.

ça m'intéresse beaucoup ! Je sens que j'y suis presque mais quelque chose m'échappe... Pourriez vous me donner un exemple numérique svp ?

Envoyé par Médiat

Bonsoir,

Une apparition inattendue de e : http://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/530438-contributions-forumeurs.html#post5381177 (et il y a d'autres exemples)

Impressionnant !

**Juzo** · 01/02/2016, 15h10

Envoyé par stefjm

La partie entière E du logarithme log d'un nombre x donne le nombre de chiffre Nb moins 1 de la partie entière de ce nombre.

C'est normal si c'est le log en base 10, puisque x = 10^(n-1) * y, où n est le nombre de chiffres de x, et y est un nombre réel inférieur à 10.
Si on parle de ln eh bien c'est faux ; )

**stefjm** · 01/02/2016, 15h42

En fait, ce qui serait encore plus tentant, ce serait de calculer le rapport n/(nb de chiffres de n) en utilisant le ln pour le nombre de chiffre continu.
La fonction x/(ln(x)+1) présente un minimum pour x=1.
Mais 1 n'est pas une base bien intéressante.

@ Ame_curieuse
Je n'ai pas bien compris ce qui vous échappe dans ce que j'ai écrit.

**Ame_curieuse** · 01/02/2016, 20h12

Envoyé par stefjm

@ Ame_curieuse
Je n'ai pas bien compris ce qui vous échappe dans ce que j'ai écrit.

Vous allez rire de moi, mais j'ai toujours eu besoin d'exemples numériques pour comprendre les maths

! Ce que vous avez écrit est sans doute impeccable, la défaillance est de mon coté ! J'ai toujours compris les maths en levant leur abstraction par des exemples "concrets", sans cela, je bloque

**stefjm** · 02/02/2016, 07h58

Cela ne me fait pas rire; il n'y a pas de raison.
Qu'est ce qui vous empêche de calculer avec l'outil de votre choix (tableur, calculette, Wolfram Alpha, etc...) x/ln(x) pour quelques valeurs de x?

x	x/ln(x)
2	2,88539008
2,1	2,83042768
2,2	2,79025869
2,3	2,7614057
2,4	2,74138858
2,5	2,72839167
2,6	2,72105584
2,7	2,718344
2,8	2,71945143
2,9	2,72374449
3	2,73071768

e vaut à peu près 2.718281828

en Excel :
Colonne 1 : LIGNE()*0,1
Colonne 2 : =A1/LN(A1)

**ansset** · 02/02/2016, 10h10

bjr, je ne vois pas ou tu veux en venir.
tu retrouves via un tableur ( et c'est peu étonnant ) que e/ln(e) = e

**stefjm** · 02/02/2016, 16h21

Ame curieuse voulait un exemple numérique; je lui en ai donné un et comment l'obtenir.

Ce qui est intéressant d'un point de vu base n'est pas que e/ln(e) vaille e, puisque c'est la définition même de la base du ln, ln(e)=1, mais que pour toute base, la fonction x/log(x) ait un minimum en x=e.

**gg0** · 02/02/2016, 16h27

Heu ... rien d'étonnant, les fonctions $\text{[math]}$ sont proportionnelles entre elles. Et il faut prendre une base supérieure à 1, sinon ce sera un maximum.

Cordialement

**stefjm** · 02/02/2016, 16h57

Je n'ai pas dit que c'était étonnant, mais optimum.
Ame_curieuse se demandait d'où sortait e, comment on l'avait trouver, son intérêt, etc...

Cela confirme d'ailleurs votre remarque concernant e et les logarithmes de ce message : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post5481936.

Envoyé par gg0

Mais ce genre de discussion se retrouve toujours à propos des deux nombres "magique", pi et le "nombre d'or", jamais à propos d'autres : personne n'a tenu le raisonnement que chaque fois qu'on trouve e, c'est qu'il y a un logarithme en cause. Pourtant, c'est bien le cas

Je réparé l'oubli en tenant ce raisonnement.

Questions sur le nombre e (d'Euler)

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