Questions sur le nombre e (d'Euler)

[invite224cf7f5]

Bonsoir à tous,

Le nombre "e" est, comme nous le savons, la base du logarithme naturel. Il est aussi la base de la fonction exponentielle. Et c'est un nombre irrationnel transcendant, comme "pi".

Mais comment l'a-t-on découvert?

Autant la réponse est simple en ce qui concerne "Pi" ("Pi" étant la longueur du périmètre d'un cercle de diamètre = 1), autant elle m'est peu accessible pour "e" ! Est ce que comme la racine carrée de 2 et Pi, ce nombre est retrouvé dans des figures géométriques facilement reproductibles (comme un carré ou un cercle) ?

Et puis... pourquoi a-t-on choisi "e" comme base de la fonction exponentielle ? Pourquoi pas 2 ou 3 ? 4 ou un autre nombre ?

J'ai beau chercher et lire, je ne trouve rien qui réponde à ma question... Pourriez-vous éclairer ma lanterne ?

Merci "infiniment" d'avance
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[Resartus]

Il y a d'abord eu le constat par M.Napier (ou Neper) au début du 17ème siècle que la fonction reciproque de la fonction 10^x permettait de remplacer les produits par des sommes, d'où son invention du logarithme à base 10. Toutes les fonctions ayant cette propriété (fonctions logarithme) se déduisent de celui-ci par une multiplication par une constante

On s'est ensuite rendu compte plusieurs années après la mort de Napier que la dérivée de ces fonctions logarithmes était de la forme k/x.
La question est alors arrivée de trouver laquelle des fonctions logarithme a pour dérivée 1/x. C'est le logarithme naturel ou népérien : nom donné en hommage à Napier. La constante de Neper est ainsi le nombre dont le logarithme naturel vaut 1 (l'aire de la courbe 1/x entre 1 et cette constante vaut 1)
Encore plus tard (au 18ème siècle), c'est Euler qui a rebaptisé cette constante e comme initiale de "exponentielle", et qui a notamment constaté que la fonction exp(x) a pour dérivée elle-même

[invite224cf7f5]

Merci beaucoup Resartus de la clarté de votre réponse !

Maintenant je me demande :

La question est alors arrivée de trouver laquelle des fonctions logarithme a pour dérivée 1/x. C'est le logarithme naturel ou népérien

Pourquoi est-ce important que ce soit 1/X ? Et pourquoi le qualifiicatif "naturel" ?

[Resartus]

Après recherche sur internet, il semblerait que Napier avait en fait élaboré sa méthode avec un logarithme qui, pour des nombres au voisinage de un, vaut l'accroissement : logN(1+epsilon) =epsilon, et c'est un autre mathématicien (Briggs) qui a développé des tables de log à base 10, plus commode, mais qui au voisinage de 1 vaut 0,434... fois l'accroissement
Sous toutes réserves, le logarithme de Napier aurait donc été jugé plus "naturel" que celui de Briggs à cause de ce comportement autour de 1, et le fait que c'est l'intégrale de 1/x n'aurait été trouvé que postérieurement...

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

C'est aussi la limite en l'infini de

Pour le naturel, e est un optimum dans le sens :

if r is the radix and w is the width in digits, we want to minimize rw while holding r^w constant.

r=e est l'optimum.

3 est l'entier le plus proche.

https://web.williams.edu/Mathematics..._ThirdBase.htm

[invite224cf7f5]

Resartus et Stefjm, merci beaucoup à vous deux !

Sincèrement, je me suis pas mal cassée la tête aujourd'hui, à vouloir comprendre, chiffres à l'appui, le sens de vos messages, en vain !

Resartus :

Sous toutes réserves, le logarithme de Napier aurait donc été jugé plus "naturel" que celui de Briggs à cause de ce comportement autour de 1

Pourriez-vous me faire une illustration numérique à ce propos ? En quoi e est meilleur qu'un autre au voisinage de 1 ? Dans quel sens ?

Stefjm :

if r is the radix and w is the width in digits, we want to minimize rw while holding r^w constant.

r=e est l'optimum.

Je ne sais pas pourquoi je sens que cette piste est la bonne ! Mais j'ai un peu du mal avec les systèmes à base 2 et 3. L'exemple qu'on donne dans cet article justement, celui de 1 million. ON dit que :

1.000.000 : dans le système à base de 10 (radix =10), w (width of digits) = 6 (parce qu'il y a 6 zéros). Et donc rw = 10.6= 60

Puis on rajoute que le système binaire le fait mieux, que dans ce cas, w=20... Alors que pour moi, même si radix =2, W = 6 dans ce cas aussi. Pourquoi w = 20 quand r=2 ? Et pourquoi il est égal à 13 pour r=3 ?

Et quel intérêt y a-t-il à ce que wr soit le plus bas possible?

[Resartus]

Il faut quand même un minimum de connaissances en maths pour aborder ce genre de questions! Je vais essayer de reexpliquer le plus simplement possible :

1) Le logarithme naturel d'un nombre très proche de 1 comme 1,0001 vaut 0,0001. Il suffit donc de soustraire 1 pour obtenir le logarithme. Par contre, le logarithme à base 10 de 1,0001 vaut environ 0,0000434. Entre les deux, le premier est plus simple à estimer (aucune multiplication!) et semble donc plus "naturel".

2) pour la remarque de Stefjm : si on veut coder un nombre inferieur à 1000000, il faut avoir 20 chiffres binaires car 2^20=1048576 dépasse 1000000 mais 2^19 est plus petit
Pour coder 1000000 avec des chiffres ternaires, il suffit de 13 chiffres, car 3^13=1594323 dépasse 1000000, mais 3^12 est plus petit.

wr représente le nombre de "cases" nécessaires pour représenter le nombre. Imaginons qu'on ait une grille rectangulaire où on coche verticalement pour indiquer quel est le chiffre. Il faut 2 rangées en binaire, 3 en ternaire, 10 en decimal. Horizontalement, il faut autant de colonnes que le nombre de chiffres.
Le nombre total de cases nécessaires sera soit 10*6 en decimal, soit 2*20 en binaire, soit 3*13 en ternaire...

[invite224cf7f5]

Merci beaucoup de votre patience et générosité !

Je comprends de mieux en mieux... tout ce qui a trait aux données mathématiques. En fait, je suis très à l'aise avec les calculs logarithmiques et les fonctions en général. La vérité est que je l'ai toujours fait... presque machinalement ! Maintenant que j'essaie de comprendre ce qu'est quoi, je bloque ! Je n'arrive même pas à comprendre... l'interêt du nombre "e",pourquoi a-t-il été inventé... pourtant, on n'utilise que ça dans les fonctions exponentielles... Et personnellement je l'utilise !

Autant j'assimile racine carrée de 2 et pi profondément, autant il n'en est rien pour "e"... Et je viens de le réaliser tout récemment ! J'utilise un nombre dont je ne sais pas grand chose finalement. Je voudrais pouvoir le comprendre comme Pi... Mais je n'y arrive pas (sourire triste)

Quoi qu'il en soit... Merci pour tout.

[invite51d17075]

ln ( népérien ) est mathématiquement plus usuel car il n'y a pas de facteur à "trimbaler".
dans les calculs approchés cependant, le "vieux" log ( en base 10 ) garde ses atouts ,
car log(2) est très proche de 3

[gg0]

Bonjour.

S'il s'agit de lui donner une origine géométrique élémentaire, pas de chance, il n'y a pas ! Mais croire qu'on comprend pi parce qu'il relie le périmètre et le diamètre d'un cercle est un peu léger : On le retrouve dans tellement de situations où il n'y a pas de cercle ...
Quant à e, c'est un nombre assez bien caractérisé, on sait même l'approximer de façon très simple.

Donc le "comprendre", comme tu dis, n'a pas tellement d'intérêt.

Cordialement.

[gg0]

Quand même, une illustration géométrique de e : l'aire située, en repère orthonormé, entre l'axe des x, la courbe d'équation y=1/x et les droites d'équation x=1 et x=e vaut exactement 1.

[stefjm]

Bonjour,

C'est le nombre tel que vérifie l'équation différentielle

Concernant le caractère économique de la base e, il y a aussi :
https://en.wikipedia.org/wiki/Radix

Cordialement.

[stefjm]

En recherchant les articles sur la base optimum e, je me suis souvenu que j'en avais écrit un à propos de e^2 et de la musique.
3 octaves donnent 2^3=8
5 quintes donnent (3/2)^5=7.59...
7 tierces donnent (4/3)^7= 7.49...

la limite en l'infini de
vaut .

http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post2392818

[stefjm]

C'est le nombre tel que vérifie l'équation différentielle

Lien avec les séries : e est économique dans le sens où on fait la somme des 1/n! (! factorielle)

[invite224cf7f5]

Merci beaucoup !!!!!!!!!! J'en suis bouché bée !! Merci à tous (notamment à stefjm), je pense que j'y vois plus claire que jamais !

Mais croire qu'on comprend pi parce qu'il relie le périmètre et le diamètre d'un cercle est un peu léger : On le retrouve dans tellement de situations où il n'y a pas de cercle ...

Je pense que si quand même. On retrouve Pi dans le cercle et dans tout ce qui a trait à la mesure d'angles... Et cette mesure, au départ, a été obtenue en découpant un cercle en 360 portions égales (appelées degré) : et on a inventé le radian en se basant sur l'idée que la moitié d'un périmètre de cercle de rayon = 1 vaut Pi, soit 180°. Après, dans toutes les équations où la notion d'angle importe dans la mesure, on retrouve Pi qui ressort (directement, ou via la trigonométrie). Certes, il n'y a pas de cercle, pas directement, mais indirectement si car c'est lui qui définit la mesure d'angles. Corrigez-moi si je me trompe

[stefjm]

La somme est égale à
Le cercle est déjà plus difficile à mettre en évidence.

http://www.pi314.net/fr/

[invite224cf7f5]

Bonsoir stefjm

La somme est égale à
Le cercle est déjà plus difficile à mettre en évidence.

http://www.pi314.net/fr/

Je pense que cet exemple illustre parfaitement ce que je disais lors de ma dernière intervention. Certes, il n'y a pas de cercle, mais pour mesurer cette somme, on fait appel à la notion de "fonction périodique", ou de cotangente pour ne citer que cela... Et qui dit périodique, dit en quelque sorte "cyclique", et Pi ressort. De même, la trigonométrie se sert d'angles, dont la mesure fait appel au cercle (donc pi indirectement).


(http://forums.futura-sciences.com/ma...es-carres.html)

[gg0]

Non non, Ame_curieuse,

cette somme se calcule de tant de façons différentes qu'il n'y a pas nécessairement de trigo en cause. Et périodique n'a rien à voir avec cyclique. la fonction x-->x-E(x) est périodique de période 1 et n'a rien à voir avec le cercle (E est la fonction partie entière). Après, bien sûr, on peut jouer sur les mots (employer cyclique pour répétitif).

Cordialement.

[stefjm]

Bonjour à tous,
Je trouve que la réponse "rien à voir" est un peu extrême, et j'aurais tendance à adopter la position opposée, extrême aussi sans doute, et proposer une relation qui me parait naturelle.

x-E(x) (tracé)
est la partie imaginaire de la fonction
(tracé)

Il sort des de normalisation pour passer d'une période de 1 à une période de .
Un fil qui parle des différentes fonctions périodiques remarquable.
http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post5070859

Il y a également les interventions très intéressantes de MiPaMa sur le lien entre les angles, le cercle et la périodicité de R/nZ.
Voir ce fil : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post5075500

Ainsi que le lien fondamental

http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post5075500


Je comprend tout à fait le conseil de gg0 qui propose "rien à voir" pour éviter d'embrouiller inutilement un débutant.

C'est surtout le pseudo "Ame_curieuse" qui m'encourage à donner plus de piste de réflexion.

Cordialement.

[gg0]

Attention !

Ne pas mélanger l'exponentielle complexe, même de module 1, avec le cercle géométrique des premiers apprentissages, dont on mesure le périmètre en y mettant une ficelle (plusieurs tours, sur une boite de conserve, si on veut une précision minime). On peut mettre en évidence des liaisons, mais évitons de tomber dans la numérologie ou la magie chiffrée.
Pi est un nombre particulier, mais n'a rien de spécial.

Cordialement

[invite224cf7f5]

Bonsoir,

Merci beaucoup stefjm de toutes ces pistes de réflexion que j'apprécie énormément.

Maintenant pour revenir à ces formules mathématiques qui font appelle à Pi sans que cela n'ait quoique ce soit à avoir avec un cercle, désolée... je ne suis toujours pas d'accord ! Pour des raisons fondamentalement simples :

1- Un nombre irrationnel, de surcroît transcendant comme Pi, a un nombre infini de décimales et ne peut être écrit de façon algébrique. Là, on est tous d'accord.

2- Mathématiquement, pour dire qu'un nombre irrationnel q'1 est égal à un autre nombre irrationnel q'2, il faut que ces deux nombres aient les mêmes décimales, dans le même ordre, jusqu'à l'infini +++

3- Or, il se trouve que Pi soit CLAIREMENT DEFINI : il a été obtenu à partir d'un cercle ! Il exprime le rapport qui existe entre un périmètre et un diamètre d'un cercle, c'est cela Pi ! On a calculé ce "coefficient", et on lui a donné un nom : "pi".

4- Maintenant combien de nombres irrationnels existent-ils dans l'intervalle Pi+/- [0.01 ; 0.02] par exemple ? La réponse ? Indénombrable ! Tous ces nombres sont irrationnels, approchent Pi, mais ne lui sont pas égaux sans un sens mathématique strict.

5- Ainsi donc, pour avoir le droit d'utiliser "PI" en mathématique de façon correcte (exemple : dans le calcul d'une série), je dois pouvoir démontrer que c'est effectivement PI dont il est question, i-e : le rapport d'un périmètre de cercle à son diamètre (directement, indirectement via les angles par exemple, trigo, etc). Si je n'ai aucune démonstration de ce type, comment être sûr que c'est de pi qu'il est réellement question, et pas un autre nombre qui s'en approche?

Alors effectivement, Pi est particulier, ne serait-ce que de part sa définition claire, nette et précise.

Corrigez-moi si je me trompe.

[gg0]

Désolé, Ame_curieuse,

mais pi en mathématiques est défini correctement sans le cercle. C'est plutôt son lien avec le cercle qui est démontré à partir de sa définition (comme plus petite valeur strictement positive qui annule une certaine série).
Ce n'est pas pour rien qu'on fait ça : Historiquement, la preuve en mathématiques était géométrique (voir par exemple les "principia" de Newton); puis on s'est aperçu au XIXème siècle qu'on manquait de rigueur en géométrie, et on a refondé les maths sur la logique et les ensembles (ou les catégories). de ce fait, l'idée très intuitive de "périmètre du cercle", ou de "l'aire d'un disque" sont apparues comme non fondées, et il a fallu reprendre à partir d'éléments sûrs. Dans ce cadre, le demi-périmètre d'un cercle de rayon 1, une fois défini, apparaît comme étant justement ce premier nombre strictement positif qui annule la série entière qui définit le sinus (défini sans le cercle trigo !).

Une autre remarque : On sait définir de très nombreux irrationnels, prouver leur égalité ou leur différence sans aller chercher "toutes les décimales". On manipule depuis des siècles des tas d'irrationnels, pas seulement pi. Et généralement, le mathématicien qui manipule pi ne réfère à aucun cercle : C'est un nombre comme les autres.

Cordialement.

[stefjm]

[...]Et périodique n'a rien à voir avec cyclique. la fonction x-->x-E(x) est périodique de période 1 et n'a rien à voir avec le cercle (E est la fonction partie entière). Après, bien sûr, on peut jouer sur les mots (employer cyclique pour répétitif).

[...}On peut mettre en évidence des liaisons, mais évitons de tomber dans la numérologie ou la magie chiffrée.

J'ai un peu de mal à comprendre ce que signifie dans ce contexte les termes "jouer sur les mots", "numérologie" et "magie chiffrée".

La partie imaginaire de tracé, (j'utilise la coupure du ln de Alpha) pour laquelle le cercle trigonométrique est clairement impliqué par l'exponentielle complexe, peut s'exprimer en utilisant la partie entière E sous la forme :

tracé

Faut-il parler de cyclique ou de périodique?

Il me semble que quoi qu'on fasse, il sort des de normalisation dès qu'il est question de période.

Pi est un nombre particulier, mais n'a rien de spécial.

Comme tous les nombres...

Cordialement.

[invite51d17075]

bonjour stef:
ce que tu dis n'est pas faux.
mais n'est ce pas un sous sujet / question sur la nature/les propriétés de PI.

[gg0]

Stefjm,

le mot "cyclique", originellement lié à l'idée que les planètes tournent en cercle autour de la terre et reviennent périodiquement à la même place dans le ciel, s'est étendu pour signifier "répétitif" ou "périodique". mais dans ces acceptions (comme dans les cycles économiques), il n'y a plus de rapport avec le cercle.
Je ne nie pas qu'on a un lien entre certaines notions et le cercle, ni qu'il y ait un rapport fort entre pi et le cercle (par l'exponentielle complexe), je nie que toute advenue de pi soit le fait d'un cercle. Même si on peut toujours faire apparaître un lien puisque pi en a un.
Et l'insistance sur pi est très souvent liée à des relents de pensée magique sur les nombres, au fait de vouloir faire jouer un rôle particulier à ce nombre parce que c'est le premier qu'on rencontre et qui n'est pas décimal (on rencontre les racines carrées bien après, sans en faire un drame, sauf le prétendu "nombre d'or", lui aussi teinté de pensée magique.
Il est d'ailleurs remarquable que le sujet de ce fil de discussion est totalement oublié, alors que e a un fort rapport lui aussi avec le cercle

Cordialement.

[invite51d17075]

il est aussi intéressant de voir que les deux ont un rapport fort avec les probabilités.
( ou est passé le cercle ? )

[Médiat]

je nie que toute advenue de pi soit le fait d'un cercle.

Comme de jeter des aiguilles sur un parquet ?

[gg0]

Tout à fait, Médiat !

Même si la preuve utilise évidemment la trigo.
Mais la trigo se définit à partir des séries entières, donc ne nécessite pas d'aller chercher un cercle.

Cordialement.

[invite9dc7b526]

D'un autre côté la résolution du problème de l'aiguille de Buffon passe par la notion de distribution isotrope et donc de mesure uniforme sur le cercle. La géométrie n'est jamais loin...

[gg0]

Heu ... il m'étonnerait que Buffon et ses contemporains aient utilisé "la notion de distribution isotrope". Par contre leur trigonométrie était fondée sur la géométrie et le cercle (intuitif - celui d'Euclide, qu'on trace).

Cordialement.