Bonjour,
Je me pose la question suivante :
Est ce que le sin(t) et le cos(t) sont les seules fonctions périodiques existantes (sans introduire la sommation (de -infini à l'infini) d'un motif).
Je parle bien de fonctions pas de signaux.
C'est bien pour cela qu'on utilise la série de Fourier non ?
Car un signal périodique ne peut être écrit comme une fonction de t ?
Cordialement,
Bonjour.
Bien évidemment, il existe une infinité de fonctions périodiques : Dès que tu définis les valeurs de f sur l'intervalle [0,T[, tu peux obtenir une fonction périodique en calculant, pour x quelconque, le nombre k tel que x+kT est dans [0,T[ (il y en a toujours 1, entier relatif) et tu poses f(x)=f(x+kT). Tu as ainsi défini une fonction périodique.
Par contre, si ta question est "parmi les fonctions vues au lycée, sin et cos sont-elles les seules qui permettent de fabriquer des fonctions périodiques ?", c'est presque le cas. En dehors des fonctions fabriquées avec sin, cos et tan(fabriquée avec sin et cos), il n'y a que la fonction "partie entière" E qui donne (x-->x-E(x)) une fonction périodique par un calcul simple. Bien entendu, ce que je disais au début est toujours valable.
Enfin, pour le traitement mathématique, un signal est une fonction. Généralement, une fonction numérique du temps.
Cordialement.
En complément :
* Une fonction est la donnée de deux ensembles (ensemble de départ, ensemble d'arrivée et d'un graphe (ensemble de couples d'un élément de l'ensemble de départ et d'un élément de l'ensemble d'arrivée) fonctionnel : Si x est un élément de l'ensemble de départ, et si (x,y) et (x,z) sont dans le graphe, alors y=z).
Si (x,y) est dans le graphe de f, x est un antécédent, y son image (l'image est unique puisque le graphe est fonctionnel) et on note y=f(x). l'ensemble des antécédents est le domaine de définition de f.
* Une fonction numérique est une fonction dont l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée est.
* Les séries de Fourier permettent d'obtenir (à peu près) des fonctions périodiques (simples) comme sommes de séries trigonométriques. En particulier de les approximer par des sommes finies (séries partielles).
Cordialement.
Bonjour,
Je comprend la question comme : les fonctions sinus et cosinus sont-elles les seules bases possibles pour les fonctions périodiques?
Il me semble qu'il faut citer l'exponentielle d'argument imaginaire
On peut aussi retrouver la fonction donnée par gg0 :
x-E(x) (tracé)
comme partie imaginaire de la fonction
Dès qu'une périodicité est mise en évidence, les imaginaires permettent le traitement assez facilement.
(Je ne me souvenais plus du lien avec la partie entière, merci gg0.)
Cordialement.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Merci beaucoup !
Bonjour,Envoyé par gg0
Ce matin, je me suis bêtement demandé si des gens avaient déjà essayé de développer des fonction périodique en série de Fourier en utilisant la fonction partie entière et la fonction orthogonale de même norme?
Cordialement.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Bonjour Stefjm.
N'y a-t-il pas un problème dans ton expression, la fonction ln étant mal définie sur les complexes (elle est définie sur C, mais à condition d'accepter des discontinuités, et suivant les usages, il y a plusieurs définitions suivant les coupures).
A savoir aussi : La plupart des fonctions périodiques ne sont pas développables en séries de Fourier (déjà pour les continues par morceaux, il faut bien choisir leurs valeurs aux discontinuités, et ne pas se contenter d'une limite à droite et à gauche de la discontinuité, mais avoir dérivabilité à droite et à gauche).
Cordialement.
Bonjour,
J'ai utilisé le ln de Alpha sans me poser plus de question que cela.
Pour les discontinuités, on peut approximer une discontinuité avec une somme infinie de fonction continue et je me demandais s'il pouvait être intéressant d'approximer la continuité avec une somme infinie de fonctions discontinues du genre de celles-ci : ln(e^(i*x))
Cordialement.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Bonjour,
Oui, ça se fait. La technique est la même que pour Fourier, on définit un produit scalaire permettant de construire une bases orthobonale de fonctions créneaux. Tu doit pouvoir retrouver cela sur le web, par exemple sur wikipedia.
Merci. Je vais regarder si cela me parle.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
regarde par exemple le théorème de Stone-Weierstrass.
