Décomposition 1/(1-x^6)

[Mauritiusisland]

Bonjour à tous, alors voilà déjà merci d'avance pour l'aide que vous pourrez m'apporter
Je dois décomposer en élément simple
1/(1-x^6) en vue de calculer son intégrale
Mais voilà je bloque pour trouver 4 des 6 coefficients...
J'ai bien 1-x^6 = ( 1-x) ( 1+ x)(-x^2-x-1) ( x^2- x+1)
Jai trouve les deux premiers coefficient 1/6 et-1/6 et après blocage j'ai fait tendre en infini en zéro j'ai tout essayé je bloque avec deux systèmes sans trop de but e= c et faire- d =-1/3
Voila si vous pouvez m'aider merci beaucoup
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[Resartus]

Dans les réels, x²+x+1 et x²-x+1 sont irréductibles (leurs racines sont complexes) , il n'y a que 4 fractions dans la décomposition

Après, pour l'intégration, on peut se ramener par changement de variable à l'intégrale de 1/(1+x²) qui est arctg(x)+C.

[gg0]

Bonjour.

Il y a déjà une erreur de signe dans ta décomposition ( -x par x par -x² par x² ça fait x^6, pas -x^6)

Ensuite, il te reste 4 coefficients à trouver, il te faut 4 équations : tu en trouves une en faisant tendre x vers l'infini, une autre en prenant x=0 (pas besoin de passage à la limite, 0 est dans le domaine), il te suffit de prendre deux autres valeurs, 2 et -2 par exemple.

Tu peux aussi faire des décompositions partielles en posant X=x² et décomposant 1/(1-X^3) ou X=x^3 et utilisant la décomposition très facile de 1/(1-X²).

Cordialement.

[Mauritiusisland]

Ben pour la décomposition j'ai fait 4 Fractions
Mais comme ça
A /( 1+x) + B /( 1- x) + (cX + d)/(x^2-x+1) + ( eX + f)/(-x2-x-1)

Mais effet si des le début j'ai pas la bonne forme de décomposition c mort ^^ mais dans mon cours ha l'exemple de la décomposition de 1/ 1+x ^3 et ça donne
A / ( x+1) + ( bX + c)/ ( x^2-x+1)
Donc je me suis inspiré de ça pour mon équation

[A voir en vidéo sur Futura]

[Mauritiusisland]

Par contre pour le signe j'ai déjà tout re développer et ça marche bien ça me donne 1-x 6

[gg0]

Ben non,

tu as 2 signes - pour calculer le x^6, ça donne +x^6 et de même, un signe - pour les 1 ça donne -1. Tu as factorisé x^6-1, pas son opposé 1-x^6=(1-x)(1+x)(1+x+x²)(1-x+x²)
Une fois cela rectifié, tu peux faire le travail, je t'ai dit comment.

[Mauritiusisland]

Ah merci ! En effet ça ira mieux après ^^ par contre j'ai pas trop compris la forme de la décomposition avec seulement 4 coefficient
Ça donne ça ?
A / (1+x) + B / 1-x) + c / ( x2 + x + 1) + d / ( x 2- x +1)?

Par rapport au résultat de l'intégration qu'on doit trouver ça me paraît bizarre
( oui avec un logiciel de calcul formel je sais ce que je dois trouver à la fin lol j'ai juste pas l'étape décomposition ^^

[Resartus]

Il n'y a que 4 fractions, mais il y a bien en effet 6 coefficients, car les numérateurs sont en c+ex et d+fx.

[Mauritiusisland]

Merci beaucoup j'ai fini l'exercice