théorème de Stokes et Green-Ostrogradsky

[roro94]

bonjour , j'ai 2 petit problèmes que je n'arrive pas a résoudre :
sois S la surface définit par (x+2)^2 +(Y+3)^2+Z^2=9
on a A le vecteur A=(3x-yz)ex +(z^2-y^2)ey + (zyx+x^2)ez
calculer l'intègrale double AdS

et sois C le cercle d'équation x^2+y^2=20
A=yex -xey calculer AdL

je n'arrive pas a comprendre comment utiliser les informations que l'on me donne dans ces cas la , merci d'avance pour votre aide
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[gg0]

Bonjour.

Il s'agit d'appliquer directement des formules de cours. Commence ...

[roro94]

je sais j'y arrive en utilisant le divergent et le rotationnel mais pas en appliquant directement ces formules :

div a = 3 intégrale de div dV = 3 * 4/3 * pi * R^3 avec R=3
=108* pi

dans le 2éme rot A = -2ez et l'intégrale de rot A dS = -2 * pi * R^2 avec R= racine(20)
=-40*pi

mais j'aimerais savoir si c'est possible de le résoudre sans passer par le rot et la div ?

merci bien

[theophrastusbombastus]

Bonjour,
je n'ai pas la prétention de répondre a votre question mais je me demande si les idées que j'ai eu ne sont pas trop mauvaises :

exercice 1
la surface a travers laquelle on veux calculer le flux est une sphère de centre et de rayon . Donc première petite chose que je me demandais c'est si on pouvais réécrire :

en posant où est le vecteur normal a la surface, donc le gradient de :


donc ce qui reviens a calculer au final :

mais la on se retrouve avec 3 variables et le sous entend 2 variables... enfin ce debut de raisonnement c'est n'importe quoi ou il y a de l'idée ?

exercice 2
la c'est une intégrale curviligne comme :
qui correspond (il me semble, en vertus d'une application du théorème de Green-Riemann) a l'air de la surface délimitée par le chemin
ca marche ça comme idée ? (ou c'est encore n'importe quoi ?)

enfin du coup si il y a de l'idée je pense que c'est un début de réponse a ce que cherchais roro94

[A voir en vidéo sur Futura]

[theophrastusbombastus]

petite précision :
en fait la sphère ne contient que "deux variables", l'une d'elle est forcement "impliquée" par les deux autres, donc en écrivant z en fonction de x et y il y a possibilité de paramétrer comme il faut nos fonctions vectorielles et après c'est une simple intégrale double.

[roro94]

salut, dsl pour le temps de réponse un peu trop de partielles en ce moment ,
pour l'exercice un je pense que c'est bon mais faut tous mettre en coordonnées sphérique et intégrer d'ou a ou ?
je pense comme on est en dS que une des 3 variables est garder constante et on intègre sur les 2 autres ce qui reviendrait a faire 3 intégrales ? ou poser une fonction marcherait mieux ?
pour l'exercice 2 c'est sa je l'ai trouver fiat comme cela dans d'autres exemples avec dL = Rd(téta) a passer dans la base cartésiennes et intégrer , en faites la méthode que je demande est plus compliquer que le rotationnel et la divergence mais bonne a savoir pour pouvoir se relire et comparer les 2 résultats .
dans les cas plus simple je me permet de faire les 2 et de vérifier mes résultats
Merci de ton aide je vais me pencher sur l'exercice 1 pour trouver comment faire