G-structures

[invite52487760]

Bonsoir à tous,

J'ai une question à vous poser à vous tous et en particulier à Universus ( s'il est là ) au sujet des G-structures. Je n'ai que très peu de connaissances sur ce sujet que je viens à peine de découvrir depuis quelques jours.
Sur le lien suivant : http://infohost.nmt.edu/~iavramid/no...sonbundles.pdf , à la fin du pdf, on donne une liste de structures liée à la notion de G-structures :
- Smooth sutructure
- Riemannian structure
- Pseudo - Riemannian structure
- Lorentzian structure
- Orientability
- Symplectic structure
- ALmost complex structure
- Spin structure
J'aimerais que vous m'expliquiez comment, à l'aide d'une notion générale qui est la G-structure, on réussit à différencier entre toutes ces structures que je viens de lister çi-dessus.

Merci d'avance pour votre éclairage.
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[Universus]

Bonjour,

J'ai une question à vous poser à vous tous et en particulier à Universus ( s'il est là ) au sujet des G-structures.

J'apprécie certainement la confiance, mais vous auriez reçu probablement plus de réponses, plus tôt et meilleures si vous ne m'aviez pas interpellé particulièrement !

Je n'ai que très peu de connaissances sur ce sujet que je viens à peine de découvrir depuis quelques jours.
Sur le lien suivant : http://infohost.nmt.edu/~iavramid/no...sonbundles.pdf , à la fin du pdf, on donne une liste de structures liée à la notion de G-structures :
- Smooth sutructure
- Riemannian structure
- Pseudo - Riemannian structure
- Lorentzian structure
- Orientability
- Symplectic structure
- ALmost complex structure
- Spin structure
J'aimerais que vous m'expliquiez comment, à l'aide d'une notion générale qui est la G-structure, on réussit à différencier entre toutes ces structures que je viens de lister çi-dessus.

Une G-structure est une structure auxiliaire sur un fibré (disons pour l'instant vectoriel) (localement trivial) compatible avec un groupe de structure G du fibré, à savoir un groupe agissant sur les fibres et dans lequel « les » fonctions de transition du fibré prennent valeur. Il y est tout à fait précis de parler de G-structure sur des fibrés topologiques, c'est-à-dire où seule la notion de continuité a de prime abord un sens.

Je vois bien mal comment définir une structure lisse comme cas particulier de G-structure. Pour parler de dérivabilité, il faudrait que la base du fibré soit un espace différentiel, notion absolument distincte de tout fibré topologique défini sur la base et, en ce sens, notion indépendante de celle de G-structure. (Évidemment, dire qu'un espace est différentiel revient à dire qu'il a un fibré tangent, mais ce n'est pas là la question.) Je ne prétends pas qu'il n'y a pas moyen de définir une structure lisse à l'aide d'une G-structure, mais si c'est le cas, je pense qu'il faut que la G-structure porte sur un fibré « supérieur » ou « auxiliaire ». Je sais par exemple que l'existence de certaines structures sur un espace (différentiel ? si oui, on tournerait un peu en rond, mais bon) permet de dire qu'il s'agit du fibré tangent à une autre variété. Quoi qu'il en soit, le cas d'une structure lisse est d'un autre niveau.

Si un fibré -vectoriel (localement trivial) de rang a toujours, par définition même, comme groupe de structure .

Si le fibré E admet un groupe pseudo-orthogonal comme groupe de structure, alors ce fibré peut être muni d'une structure pseudo-riemannienne de type (p,q). Il s'agit de la donnée sur chaque fibre (vu comme espace vectoriel) d'une forme bilinéaire symétrique non dégénérée de signature (p,q). La trivialité locale du fibré permet d'avoir de telles données au-dessus d'ouverts trivialisants, mais si les fonctions de transition du fibré ne sont pas dans , il n'y a aucun moyen de prime abord de « coller » les diverses structures locales pour obtenir une seule structure pseudo-riemannienne sur tout le fibré. Il est à noter que cette donnée fibre par fibre (variant continûment avec le point de base) de la structure pseudo-riemannienne correspond à une section continue non dégénérée du fibré auxiliaire .

Si p=0 ou q=0 dans le paragraphe précédent, alors la structure est dite « riemannienne ». Si plutôt p=1 ou q=1, alors la structure est dite « lorentzienne ».

Le groupe a deux composantes connexes, selon que la fonction déterminant soit positive ou négative. La partie positive forme aussi un groupe, noté . Si le fibré admet ce dernier groupe comme groupe de structure, alors une -structure est une forme volume, bref une section continue jamais nulle du fibré . Ceci détermine une orientation.

Plus directement, le fibré est de rang 1 et a donc comme groupe de structure . Ce groupe se rétracte sur le sous-groupe . Il s'avère alors que admet toujours comme groupe de structure. Si ce fibré est trivial, alors E est dit orientable. Si det E est trivial, alors il n'y a que deux sections (toutes deux continues et jamais nulles) ; le choix d'une des deux sections est une -structure sur E, à savoir une orientation. Il s'avère qu'une forme volume détermine naturellement une orientation, mais la réciproque est fausse.

Supposons que E est de rang r pair et qu'il admet comme groupe de structure le groupe symplectique . Alors une -structure est une structure symplectique, c'est-à-dire la donnée sur toute fibre d'une 2-forme (alternée) non dégénérée. Il s'agit d'une section continue non dégénérée de .

Supposons que E est de rang r pair et qu'il admet comme groupe de structure le groupe linéaire complexe . Alors une -structure est une structure (presque) complexe, c'est-à-dire la donnée sur toute fibre d'un endomorphisme J vérifiant . Il s'agit en particulier d'une section continue non dégénérée de .

Il s'avère qu'un fibré symplectique implique canoniquement une forme volume et donc une orientation. Un fibré (presque) complexe possède canoniquement une orientation.

Le groupe est le revêtement double de . Donc si un fibré est orientable et « riemannisable », c'est-à-dire s'il admet comme groupe de structure, on peut se demander s'il n'admet pas comme groupe de structure. En général, ce n'est pas assuré : il n'y a aucune raison pour que les fonctions de transition à valeur dans « montent » en des fonctions univaluées à valeur dans . (Le contraire est cependant toujours possible.) Lorsque cela se produit, le fibré est dit spin. Je ne m'y connais pas, mais je crois qu'une « structure spin » est le choix d'une sorte de « racine carrée » de la structure riemannienne sous-jacente. Ce devrait être une section continue (non dégénérée dans un sens approprié) d'un fibré auxiliaire approprié.

[invite52487760]

Merci beaucoup Universus, j'ai compris ce que tu as écrit. Cordialement.

[invite52487760]

Salut à nouveau à vous tous :

Toujours dans le cadre des -structures, j'aimerai savoir pourquoi est parallélisable en tant que manifold. C'est à dire, pourquoi elle admet une - structures avec : le groupe trivial ? Pouvez vous m'expliquer ça svp ?
Ce que je sais, c'est que : en tant que fibré tangent est trivial, c'est à dire qu'il s'identifie à : en remarquant que tous ses espaces tangents s'identifient point par point à l'aide de la translation : avec : .

Merci d'avance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Universus]

Bonjour,

Il me semble que n'importe quel fibré trivialisable admet le groupe trivial à un élément comme groupe de structure.

Si est un fibré trivisable de fibre F au-dessus d'une base B, alors il existe une application surjective (une « trivialisation ») telle que est un isomorphisme de F-fibrés au-dessus de B.

Dire que E admet un groupe G comme groupe de structure, c'est dire (entre autres possibilités) qu'il existe des trivialisations locales de E telles que les fonctions de transitions (entre lesdites trivialisations locales) sont pour ainsi dire à valeur dans (une représentation fidèle de) G (dans le groupe des automorphismes de la fibre).

Donc, pour répondre à la question, notons d'une part que n'importe quelle fibre admet une action par le groupe trivial, et notons d'autre part qu'une trivialisation globale de E est en particulier une trivialisation « locale » sans fonction de transition (qui, dans un sens, est automatiquement à valeur dans G). Si on tient à considérer quelque chose d'un peu plus consistant, on peut considérer des trivialisations locales de la forme (avec une trivialisation globale comme ci-dessus), dans quel cas les fonctions de transitions sont à valeur dans le groupe trivial.

[invite52487760]

Bonjour,

Bonjour,
Il me semble que n'importe quel fibré trivialisable admet le groupe trivial à un élément comme groupe de structure.

Oui, c'est vrai, je suis étourdi. Si ( en général ), un fibré ( réel ) est trivialisable, alors, il est isomorphe à : , et il n'y'a qu'une seule trivialisation ( globale ) de qui est l'identité, et donc le groupe de structure est trivial.
N'est ce pas ? ... Si je saisis bien votre phrase ...
Je poursuis la lecture de ton message ...

Cordialement.

[Universus]

Grosso modo, c'est ça.

Je veux cependant souligner qu'un fibré n'a pas (en général) un groupe de structure, mais en a plusieurs. C'est pourquoi j'ai toujours écrit « E admet G comme groupe de structure ».

Par exemple, tout fibré vectoriel réel (localement trivial) de rang admet comme groupe de structure. Or, comme nous en avons parlé dans un autre fil, tout fibré vectoriel (localement trivial) admet une structure riemannienne, c'est-à-dire une notion de produit scalaire sur chaque fibre dépendant de manière continue de la fibre. Je ne me lance pas dans les détails, mais il s'avère que cela permet de toujours redéfinir des trivialisations pour que les fonctions de transition associées soient à valeur dans le groupe . Dans le langage de Steenrod, il y a eu réduction du groupe de structure de à .

Lorsque le fibré est orientable, il est possible de redéfinir les trivialisations pour que les fonctions de transition exhibent explicitement cette orientabilité en étant à valeur dans . Donc, les fibrés vectoriels réels (localement trivials) orientables admettent au moins trois groupes de structure différents : pour la structure vectorielle « globale », pour la structure riemannienne et leur sous-groupe de déterminant positif pour l'orientabilité.

Divers groupes de structure expriment de manière indirecte diverses structures sur le fibré, qui peuvent exister ou non selon le fibré considéré.

[invite52487760]

Merci Universus. Ton dernier message est très instructif. Je l'ai bien compris.

Une autre question si vous me permettez :

J'ai un - fibré principal : et une représentation avec un espace vectoriel et : définie par : .
On associe à tous ces objets un fibré vectoriel appelé fibré vectoriel obtenu en attachant à la fibre via : et défini par : par l'action donnée par : .
Notons : l'élément induit par :.

Ma question est de savoir, à l'aide de ces données çi - dessus, pourquoi : ?.

Merci d'avance.

[Universus]

Bonjour chentouf,

Il s'agit du genre de question qu'il faut résoudre seul : vous vous en voudriez que quelqu'un vous donne la réponse !

[invite52487760]

Bonjour Universus :

Bonjour chentouf,

Il s'agit du genre de question qu'il faut résoudre seul : vous vous en voudriez que quelqu'un vous donne la réponse !

D'où le résultat.

Cordialement.

[invite52487760]

Salut :

En parcourant le pdf suivant : http://www.cmls.polytechnique.fr/per...web/Kahler.pdf , je tombe à la page : sur un passage qui affirme que : .
Cette dernière expression me fait penser au comportement du tenseur de Nijenhuis qui s'exprime par :

Est ce qu'il y'a théoriquement, une ressemblance entre ces deux expressions ? ( l'un conduit à l'autre ou un truc qui ressemble à ça ... ? )

Merci d'avance.

[Universus]

Bonjour,

Les deux expressions se ressemblent pour une raison bien simple.

Soient un espace vectoriel réel et son complexifié. Supposons

1) que admette une structure complexe

2) et qu'on ait une application -bilinéaire , où W est un espace vectoriel complexe quelconque.

Alors, pour , posons . Nous calculons facilement

.

Le tenseur de Nijenhuis ne cadre pas tout à fait avec la situation présentée ci-dessus, d'une part parce que étant défini non pas sur des « vecteurs tangents » mais bien sur des « champs de vecteurs tangents », et d'autre part parce que c'est I est non pas i qui se trouve à « l'extérieur de » dans l'égalité ci-dessus. Ceci dit, puisque le tenseur de Nijenhuis est une mesure de l'involution du sous-fibré holomorphe du fibré tangent complexifié, on peut modifier la situation ci-dessus pour englober le cas de .

Bref, c'est le caractère bilinéaire du tenseur et son évaluation sur des vecteurs précis qui expliquent l'allure de l'égalité. La « nature profonde » de ces objets n'y est pas pour grand chose.

Remarque : il y a bel et bien des liens entre le tenseur de Nijenhuis et le caractère kählérien d'un triplet , mais c'est un autre sujet.

[invite52487760]

Bonjour Universus :

Merci de m'avoir apporté toute cette aide depuis le début, et merci pour ta patience pour ces questions un peu déb**l* que je pose. Il y'a beaucoup de choses qui m'échappent et qui sont en fait très facile à comprendre sans aller demander l'aide de quelqu'un, mais vu le désordre dont je suis plongé depuis que j'ai commencé à me mêler de ces sujets là, je n'arrive plus à me situer dans ce monde qui me semble, n'a ni début ni fin.

Peux tu m'indiquer un endroit sur le net où je peux trouver la démonstration du théorème qui dit que : le tenseur de Nijenhuis s'annule équivaut au fait que : est intégrable en tant que - structure ( réduction de la structure à ).

J'aimerais comprendre aussi pourquoi : le tenseur de Nijenhuis s'annule équivaut au fait que : . ( Ce que tu as appelé : involution du sous-fibré holomorphe du fibré tangent complexifié ).

Merci d'avance.

[Universus]

Bonjour Universus :

Merci de m'avoir apporté toute cette aide depuis le début, et merci pour ta patience pour ces questions un peu déb**l* que je pose. Il y'a beaucoup de choses qui m'échappent et qui sont en fait très facile à comprendre sans aller demander l'aide de quelqu'un, mais vu le désordre dont je suis plongé depuis que j'ai commencé à me mêler de ces sujets là, je n'arrive plus à me situer dans ce monde qui me semble, n'a ni début ni fin.

Je partage le même sentiment, et j'ose m'avancer en disant que nous ne sommes pas les seuls !

Peux tu m'indiquer un endroit sur le net où je peux trouver la démonstration du théorème qui dit que : le tenseur de Nijenhuis s'annule équivaut au fait que : est intégrable en tant que - structure ( réduction de la structure à ).

Je n'ai lu que la preuve dans la catégorie analytique dans le livre (en anglais) de Claire Voisin, Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry I. Je pense que ce livre est une traduction de ses notes originales en français... que je pense accessibles en ligne... et qui contiennent aussi, j'imagine, la preuve de ce théorème.

Le résultat dans la catégorie lisse est, paraît-il, très difficile. À ma connaissance, le seul ouvrage qui a osé l'exposer est celui de Donaldson et Kronheimer, The Geometry of Four-Manifolds, que je n'ai jamais lu.

J'aimerais comprendre aussi pourquoi : le tenseur de Nijenhuis s'annule équivaut au fait que : . ( Ce que tu as appelé : involution du sous-fibré holomorphe du fibré tangent complexifié ).

C'est en bonne partie en raison de la bilinéarité de que j'ai évoquée dans mon message précédent. Si la distribution est en involution, alors pour des champs vectoriels réels u et v près de p, le crochet et est donc de la forme pour un certain champ vectoriel réel w. En développant en termes de u et de v, la seule manière que le résultat soit de la forme est d'avoir une égalité qui correspond à l'annulation de .