Bonsoir à tous, j'ai essayé de faire cette exercice mais je ne suis pas tout à fait sure de la véracité de ma réponse pour la base de im(f):
Soit f: R⁵ --> R²
(x1,x2,x3,x4,x5) --->(x1+x2+x3,x1-x4-x5)
une application linéaire déterminer base de ker(f) et im(f). Est ce que f est injective ? surjective ? bijective ?
Réponse: On sait que Ker(f){ x dans R⁵, f(x)=0}
j'ai donc posé le système suivant : x1+x2+x3=0 et x1-x4-x5=0
ce qui nous donne comme solution : {x4+x5,-x4-x3-x5,x3,x4,x5} j'ai donc extrait cette base {(0,-1,1,0,0) (1,-1,0,1,0) (1,-1,0,0,1)}. on a dim(ker(f))!=0 ---> f n'est pas injective
Pour la base de im(f): j'ai évalué f(1,0,0,0,0)=(1,1)
f(0,1,0,0,0)=(1,0)
{(1,1),(1,0)} étant une famille libre de dimension 2=dim(R²) alors c'est une base de im(f). On a dim(im(f))=dim(R²)=2 d’où f est surjective
est ce que mon raisonnement est juste pour la base de im(f) j'ai essayé au début de poser le vecteur u(a,b) de R² et j'ai essayé de résoudre
le travailler avec le systeme : x1+x2+x3=a et x1-x4-x5=b mais je n'y arrive pas. Merci d'avance pour votre aide
-----