Polynôme plus exponentielle
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Polynôme plus exponentielle



  1. #1
    Gilgamesh
    Modérateur

    Polynôme plus exponentielle


    ------

    Bonjour à tous,

    quelqu'un aurait il une bonne idée à me donner pour résoudre l'équation sur x suivante ?



    avec b et c des constantes

    Merci !

    -----
    Dernière modification par Gilgamesh ; 01/02/2016 à 11h25.
    Parcours Etranges

  2. #2
    Gilgamesh
    Modérateur

    Re : Polynôme plus exponentielle

    note:
    la valeur de c est fixée.
    c = 1/2.

    Il s'agit de la fonction dérivée (courbe verte) de la fonction suivante (courbe bleue) :.



    Je cherche à trouver le minima de la fonction (pour les x positifs) en fonction de b.
    Images attachées Images attachées  
    Parcours Etranges

  3. #3
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Polynôme plus exponentielle

    Salut,

    EDIT croisement

    J'ai essayé un solveur mais sans succès.

    Une résolution graphique est insuffisante ? As-tu besoin d'une solution analytique ?
    "Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)

  4. #4
    Tryss2

    Re : Polynôme plus exponentielle

    En général ça se mélange très mal.

    Ici je ferrai le changement de variable t=1/x, et l'équation se réécrit alors .

    Mais à ma connaissance, ce genre d'équation (intersection entre un polynôme et une exponentielle) n'a pas de solution explicite

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Gilgamesh
    Modérateur

    Re : Polynôme plus exponentielle

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    Salut,

    EDIT croisement

    J'ai essayé un solveur mais sans succès.

    Une résolution graphique est insuffisante ? As-tu besoin d'une solution analytique ?
    C'est pour publier, ça serait quand même plus propre dans l'article

    A défaut de solution exacte, je pourrais peut être tenter un développement limité...
    Dernière modification par Gilgamesh ; 01/02/2016 à 12h28.
    Parcours Etranges

  7. #6
    Médiat

    Re : Polynôme plus exponentielle

    Bonjour,

    Citation Envoyé par Gilgamesh Voir le message
    A défaut de solution exacte, je pourrais peut être tenter un développement limité...
    Au voisinage de quoi ?

    Les seuls résultats simples que je vois sont les limites pour + et - l'infini et au voisinage de 0.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  8. #7
    Gilgamesh
    Modérateur

    Re : Polynôme plus exponentielle

    Citation Envoyé par Tryss2 Voir le message
    En général ça se mélange très mal.

    Ici je ferrai le changement de variable t=1/x, et l'équation se réécrit alors .

    Mais à ma connaissance, ce genre d'équation (intersection entre un polynôme et une exponentielle) n'a pas de solution explicite
    Merci. Mais c'est bien un cube dans le 2e terme n'est ce pas ?
    .
    Parcours Etranges

  9. #8
    Médiat

    Re : Polynôme plus exponentielle

    Oui, c'est bien cela.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  10. #9
    Gilgamesh
    Modérateur

    Re : Polynôme plus exponentielle

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Bonjour,

    Au voisinage de quoi ?

    Les seuls résultats simples que je vois sont les limites pour + et - l'infini et au voisinage de 0.
    Je pensais utiliser le développement limité :



    mais je m’aperçois que ça met très longtemps à converger vers un nombre stable (genre au 20e terme)...
    Parcours Etranges

  11. #10
    Médiat

    Re : Polynôme plus exponentielle

    Cela ne permet pas de résoudre l'équation, puisque déjà il faut avoir une idée de la solution pour savoir jusqu'à quel ordre il faut développer le DL pour espérer un résultat correct, et au delà de 4 (ce qui n'est pas beaucoup) on ne sait plus résoudre ces équations.

    Est-ce que tu as une idée du domaine dans lequel évolue b (et x) ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  12. #11
    Gilgamesh
    Modérateur

    Re : Polynôme plus exponentielle

    Bon, la convergence dépend de x, elle est d'autant plus lente que x est grand.

    Avec le changement de variable, si j'ai x=2 et t=1/2 j'ai une convergence pour à 0,02% près au 4e terme.

    Si je réduis assez l'intervalle d'étude, y'a peut être moyen...

    edit: croisement
    je regarde mes données et je te réponds
    Dernière modification par Gilgamesh ; 01/02/2016 à 14h55.
    Parcours Etranges

  13. #12
    Médiat

    Re : Polynôme plus exponentielle

    J'ai l'impression que le résultat (en t) reste dans des bornes raisonnables quand b varie (ce qui serait une bonne nouvelle)
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  14. #13
    Gilgamesh
    Modérateur

    Re : Polynôme plus exponentielle

    La valeur de x est comprise entre 1,48 et 1,73.
    La valeur de b est comprise entre 0,52 et 0,78

    Je fait le changement de variable u = -t = -1/x
    D'où :



    Le développement limité de l'exponentielle jusqu'à l'ordre 4 me donne :



    Avec un solveur, en prenant une valeur médiane de b=0,6360 (et c=0,5), je trouve effectivement qu'une des 4 racines de l'équation est en bonne adéquation avec la valeur de x que j'ai déterminé très précisément par ailleurs en valeur approchée, à 0,2% près.

    Donc ça fonctionne correctement, mais bon, ça veux dire sortir la grosse artillerie d'une équation du 4e degré à chaque fois et 0,2% près c'est juste 2 chiffres après la virgule, c'est pas Byzance.
    Dernière modification par Gilgamesh ; 02/02/2016 à 07h54.
    Parcours Etranges

  15. #14
    Tryss2

    Re : Polynôme plus exponentielle

    Je ne comprends pas ce que tu cherches à faire.

    Il me semble que le plus simple, c'est :
    - De prouver qu'il y a bien une solution unique
    - De dire qu'on ne peux pas l'expliciter à l'aide des fonctions usuelles
    - De mettre une jolie courbe de x en fonction de c

    Pour calculer la solution, la méthode de Newton me parait adaptée. Ça serra plus précis et plus rapide que ce que tu fais là

  16. #15
    Médiat

    Re : Polynôme plus exponentielle

    Citation Envoyé par Gilgamesh Voir le message


    Le développement limité de l'exponentielle jusqu'à l'ordre 4 me donne :

    On peut aller jusqu'à l'ordre 5 et avoir une encore une équation pour laquelle il existe des méthodes exactes (bon à partir de données approchées)
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  17. #16
    CM63

    Re : Polynôme plus exponentielle

    Bonjour,

    Autre méthode numérique : essaie peut-être Newton-Raphson. Si tu n'es pas dans le domaine de convergence quadratique, tu peux peut-être encadrer la solution.

    A plus.

  18. #17
    Médiat

    Re : Polynôme plus exponentielle

    En allant au degré 5 je trouve 1,61084458 (pour b=.636) alors que la réponse semble être plutôt 1.611
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  19. #18
    Gilgamesh
    Modérateur

    Re : Polynôme plus exponentielle

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    En allant au degré 5 je trouve 1,61084458 (pour b=.636) alors que la réponse semble être plutôt 1.611
    Oui, c'est correct

    J'ai commencé à voir ce que ça donne en degré 4 mais ça me semble d'une lourdeur considérable pour un gain assez modeste.

    Je vais voir ce que ça donne avec les série de Taylor, comme suggéré.

    Pour info

    La valeur de b est dépendante d'un facteur r :


    avec
    k1 = 0,6275
    r est le seul paramètre variable pour envisager les différents scénarios à optimiser,

    Et dans la première version de l'article la valeur optimale de x = k3 est estimée par



    et ça marche pas si mal...
    Parcours Etranges

  20. #19
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Polynôme plus exponentielle

    je pensais aussi à un algorithme simple à la Newton, une fois une valeur approchée estimée.
    la "forme" de la courbe semble s'y prêter.
    Dernière modification par ansset ; 02/02/2016 à 10h57.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  21. #20
    Tryss2

    Re : Polynôme plus exponentielle

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    En allant au degré 5 je trouve 1,61084458 (pour b=.636) alors que la réponse semble être plutôt 1.611
    Ce n'est pas étonnant d'avoir une telle erreur. La série entière convergeant assez lentement vers exp(x).

  22. #21
    CM63

    Re : Polynôme plus exponentielle

    Bonjour,

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    je pensais aussi à un algorithme simple à la Newton, une fois une valeur approchée estimée.
    la "forme" de la courbe semble s'y prêter.
    Tout-à-fait. Il vaut toujours mieux penser à Newton-Raphson plutôt qu'aux développements polynomiaux, car la convergence est quadratique. Le tout est de trouver un intervalle [a,b] contenant la solution dans lequel la dérivée (ici f") est inférieure à 1 en valeur absolue. Ce qui revient à trouver a car ensuite f" est décroissante.

  23. #22
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Polynôme plus exponentielle

    oups, je viens de voir que tu l'avais suggéré avant.
    Cordialement.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

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