Intégrale à exprimer selon les fonctions gamma et dseta.

[Manaphy]

Bonsoir, je galère sur un calcul d'intégrale.



On me demande en utilisant la relation d'exprimer I en fonction de certaines valeurs .

Apparemment, je suis censé trouver 6 x dseta(4), soit gamma(3)*dseta(4). Moi je trouve gamma(4)* dseta(3). Peut-on m'aider ?

J'ai fait ainsi :

1) je factorise par e^x en bas, du coup j'obtiens la fraction géométrique que je développe en série entière.
2)Je rentre l'exponentielle, et j'obtiens alors :



3) j'intervertis intégrale et somme, et je multiplie par (n+1)^3/(n+1)^3. J'obtiens alors ceci :




l'intégrale vaut gamma(4), je peux ainsi le sortir, et en ré-indexant la somme j'obtiens zeta(3).

Ou est le problème ?
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[azizovsky]

c'est l'intégrale qu'on trouve en physique pour calculer le rayonnement du corps noir,



et pour calculer on passe par la série de Fourier:



et on lui applique la relation de Parseval (c'est tous ce que je retiens )

[Manaphy]

Oui c'est cela. C'est un exo de Mines-Ponts 2009. Autant, le problème n'est pas de calculer dseta(4) (il est donné dans l'énoncé), mais plus d'arriver à gamma(3)*dseta(4) (et non gamma(4)*dseta(3) ><). Je connais le résultat, c'est d'ailleurs la raison de mon post ici.

Ou alors je n'ai fait aucune erreur et maintenant on connaît une formule précise de la constante d'Apéry, mais j'en doute

[Resartus]

1ere remarque : l'intégrale donne non pas gamma(4) mais gamma(4)/(n+1), en raison du changement de variable u=(n+1)x
2eme remarque : le 6 attendu est bien 3! soit gamma(4) (la fonction gamma est décalée de un par rapport à la factorielle)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Manaphy]

Ah ok ! La fonction gamma décale la factorielle ! Je croyais avoir lu sur mon énoncé : gamma(n)=n!

Pour le changement de variable, j'ai compris aujourd'hui, je trouve en effet dseta(4)