Série de taylor , coordonnées sphériques

[diamon76]

Bonjour,
J'ai quelques soucis avec un calcul dans le livre de Jackson "Classical electrodynamics".
Nous devons calculer l'intégrale :
.

Il faut faire un developpement limité de la densité de charge autour du point .

Un truc me chifonne , le résultat de cette expansion est :
.
Nous avons aussi :
1) Je ne saisis pas pourquoi la puissance 1 du gradient est nulle.
2) J'ai essayé le calcul mais je m'embrouille avec les x',x et tout ca en coordonnées sphérique. De plus dans l'intégration au début on a donc cela devrait être r'dr non dans le résultat ? ( ou alors ce sont juste des variables muettes ?

merci beaucoup de votre aide
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[Resartus]

1) les composantes impaires du développement limité vont donner une intégrale nulle pour des raisons de symétrie : chaque valeur sur un point à une certaine distance dx (vectoriel) de x' sera compensée par une valeur opposée venant de l'autre coté de x'
2) Pour ce qui est de l'intégration, on peut commencer par intégrer sur les deux angles L'intégration équivaut simplement à une multiplication par la surface, car le terme à intégrer ne dépend que de r.. Et cette surface vaut 4.Pi.r².

NB: en sphérique, la formule est r²sin(theta)dr.dtheta.dphi, vous pouvez vérifier que cela donne bien 4.pi.r²dr quand on intègre theta de 0 à pi et phi de 0à 2pi.

[diamon76]

Merci

J'avais bien noté pour le pas de problème, ce qui me pose problème c'est le développement limité ( multivariable) je m'y perd.
Je m'y perd notamment à l'ordre 2 pour le calculer ( il faut la matrice Hessienne non ) ?
Je suis confus aussi avec les vecteur normaux car nous avons deux variables x et x' donc le gradient à un vecteur normale différent ?

[Resartus]

Effectivement, le developpement à l'ordre deux fait apparaitre d'autres termes, mais le même raisonnement de symétrie permet de les éliminer*

Evident pour les termes non diagonaux en dxdy ou dxdz, etc. (même raisonnement que pour le gradient)

Pour les termes en dx2 dy2 dz² on peut voir que les différences vont également s'annuler (mais cette fois en choisissant des points perpendiculaires)
Au total, il ne reste dans le développement qu'un terme en dx²+dy²+dz² multiplié par la moyenne des composantes diagonales. On retrouve bien dr²/2*1/3 du laplacien

*Il y a plus rapide pour le démontrer mathématiquement (mais moins intuitif AMHA) en diagonalisant la hessienne...

[A voir en vidéo sur Futura]

[azizovsky]

il y'a la dérivation suivant le vecteur est ,

si est l'angle formé par le vecteur et , il résulte que
la valeur de suivant toutes les directions reste comprise entre et

le vecteur est complètement déterminé par les propriété de la fonction , sans dépendre de la direction suivant laquelle la dérivation est effectué.
il y'a aussi la propriété d'invariance d'une différentielle par rapport au changement de variable.

[diamon76]

Merci
Est ce que tu pourrais m'écrire correctement juste la premier ligne ( formule "générale" du développement limité dans mon cas ) car je me perd : Le gradient , on fait la dérivée par rapport à x ? x-x' ? x' ? ou un autre variable ? Je suis totalement confus dans toute ces variable et je me mélange les pinceaux

[azizovsky]

on pose pour l'écriture...,

[diamon76]

Dans notre cas
QUans tu écris ce sera , , ?


Confus tout cela

[azizovsky]

Dans notre cas
QUans tu écris ce sera , , ?


Confus tout cela

oui et une petite variation...

tu'as: une boule centée en de rayon

c'est juste de la géométrie analytique...

[azizovsky]

un petit détail :

[azizovsky]

un petit détail : et avec deux point trés proche..

variation et variation de la variation...(j'avais des problèmes avec ça, on apprend sans savoir la signification géométrique..)

[azizovsky]

pour la première question, on'a:

cad:

et l'intégration de ce dernier est nulle .