Espaces vectoriels : Supplémentaire de F dans E

[TheScientist05]

Bonsoir,

Exercice :
Soit F = vect((-1 1 0), (2 0 1), (1 1 1))
- Quelle est la dimension de F ?
- Quelle est la base de F ?
- Quel est le supplémentaire de F dans E ? Donner un exemple.

1) Pour la dimension, j'ai trouvé 2.
2) Pour la base, j'ai trouvé ((-1 1 0), (2 0 1))
3) Pour le supplémentaire :
Soit S, le supplémentaire de F.
Relation de Grassmann :
dim(F) + dim(S) - dim(F + S) = dim(F inter S)
2 + dim(S) - 3 = 0
dim(S) = 1
S est une droite vectorielle.

Pour l'exemple :
Soit le vecteur u appartenant à S.

Si u n'est pas colinéaire à l'un des vecteurs de F, alors S est supplémentaire de F. (est-ce que c'est bon ? si oui, je trouverai un exemple ...)

Merci
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[God's Breath]

Bonjour,

Tout le début est très mal formulé : une base de F, un supplémentaire de F dans E, et pas les articles définis ; mais les résultats sont corrects.

Du coup j'ai un doute pour l'exemple : c'est l'idée, mais la formulation est vraiment bizarre. Les vecteurs u=(2,4,3) et u'=(4,7,5) conviennent-ils ?

[TheScientist05]

Tout le début est très mal formulé : une base de F, un supplémentaire de F dans E, et pas les articles définis

Oups ... Désolé ^^

Pour l'exemple, ma proposition ne fonctionne pas de toute façon ...

Les vecteurs u=(2,4,3) et u'=(4,7,5) conviennent-ils ?

Pourquoi prendre deux vecteurs ?

[God's Breath]

La question est : peut-on prendre l'un ou l'autre des vecteurs u ou u' pour définir un supplémentaire de F dans E ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[TheScientist05]

Ok.

Mais quelle est la condition ?

u pas colinéaire à tous les vecteurs de F ?
u pas colinéaire à un vecteur de F ?
...

[Resartus]

Inutile d'utiliser le mot "colinéaire" : si u est colinéaire à un vecteur de F, c'est un vecteur de F.
Et un vecteur de F, c'est n'importe quelle combinaison linéaire des vecteurs de la base que vous avez trouvée, Il ne suffit pas u que ne soit pas colinéaire à des deux vecteurs de la base. Il faut trouver un u qui ne soit pas exprimable comme combinaison linéaire de b1 et b2
Cela revient à vérifier que b1,b2, U est libre. Et effectivement, il y a des tas de solutions possibles pour U. Mais par contre, 2,4,3 ne marche pas... 4,7,5 oui

[TheScientist05]

Ok !

Merci beaucoup !

A bientôt