Intégrale Difficile

[invite42778ef0]

Bonjour,
quelqu'un sait-il trouver l'intégrale suivante :
I=INT ( (2t + 7) / (t^2+t+1)^2)
Merci d'avance.
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[C++]

A defaut de la resoudre(il est plutot tard et j'avoue que je n'ai pas tres tres envie de faire du calcul integrale) j'ai le plaisir de t'informer que :

-la primitive de ta fonction existe

-et est exprimable analytiquement

Qui aurait fait une integration d'elements simples(une des rares methodes d'integration qu'il maitrise..)

[invite37968ad1]

Bonjour,
pour gagner un peu de temps sur la décomposition en éléments simples (qui marche bien sur), une astuce:
Poser g(t) = (at + b)/(t²+t+1) et regarder la forme de la dérivée
g'(t) = (-at² -2bt + a - b)/(t² + t + 1)²
et chercher c, a et b tels que
(2t+7)/(t²+t+1)² = c/(t²+t+1) + g'(t)
on trouve (sauf erreur de calcul de ma part a = 4, b = 1, c = 4)

Comme on connait une primitive de c/(t²+t+1) (à coup d'arctan) et qu'une primitive de g' est g, on connait une primitive de ta fonction

mes calculs et la TI 89 donnent 8rac(3)/3 Arctan[t/rac(3) + 1/rac(3)] + (4t + 1)/(t²+t+1)

Bonne intégration

[invite37968ad1]

flûte !
encore cliqué trop vite!
lire Arctan[2t/rac(3) + 1/rac(3)]

[A voir en vidéo sur Futura]

[m81]

Salut,

Si tu peux avoir accès à Matlab, tu peux écrire

syms t;int((2*t+7)/((t^2+t+1)^2))

ce qui donne

1/3*(12*t+3)/(t^2+t+1)+8/3*3^(1/2)*atan(1/3*(2*t+1)*3^(1/2))

Mais avec mathematica, c'est mieux, il le met directement sous forme habituel. Il y a l'adresse
http://integrals.wolfram.com/index.cgi

qui peut dépanner pour les intégrales pas trop difficiles (pour cette intégrale, il plante, mais pas Mathematica, je crois)

[m81]

Excusez-moi, je voulais dire : Bonjour,... ops: