Extension d'un corps

[mathsloveer]

Bonjour,

On parle de corps des racines d'un polynome de K[X] comme extension de K. Mais j'arrive pas a me convaincre que chaque corps possède une extension... au moins je pense pas que c'est évident! J'éspère de l'aide.

Merci à vous!!
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[God's Breath]

Bonjour,

Soit K un corps, le corps des fractions rationnelles K(X) est une extension de K.

[mathsloveer]

Bien évidemment, mais est ce que cela prouve que l'ensemble des racines est un corps?!

[Tryss2]

L'ensemble des racines d'un polynôme P n'est jamais un corps (sauf cas vraiment exceptionnels). Ce qu'on cherche, c'est le plus petit corps qui permet de décomposer P

https://fr.wikipedia.org/wiki/Corps_...%A9composition

[A voir en vidéo sur Futura]

[mathsloveer]

Bien entendu. Merci pour l'article Tryss2!

[mathsloveer]

Oui désolé le corps K' dont j'ai voulu parler est celui contenant toutes les racines de P de façon que P scindée sur K'[X],bien sur que l'ensemble des racines d'un polynome n'est un corps que très rarement si on n'ose pas dire que c'est vrai seulement pour le polynome nul. Merci pour l'article Tryss2!

[God's Breath]

Un polynôme n'a qu'un nombre fini de racines : si l'ensemble de ces racines est un corps, ce corps est fini.

Réciproquement, on démontre que tout corps fini est l'ensemble des racines d'un polynôme.

[Tryss2]

Non, il y a d'autres polynômes que le polynôme nul, mais il faut nécessairement que le corps de base soit fini. Les racines du polynôme de F2[X] P(X) = X(1-X) sont 0 et 1, c'est à dire F2

D'ailleurs les corps finis, on voit bien la différence entre le polynôme (qui n'est pas nul) et la fonction polynôme (qui elle est nulle)

[mathsloveer]

Oui je comprends ton exemple Tryss2, et il faut que la condition du corps fini soit vérifié.

La réciproque de le proposition que God's Breath a écrit est très puissante (et même très amusante)! Y-a t-il une source ou je peux lire plus concernant ce sujet?!

Cordialement.