Aide de bienvenue

[Soel46]

Bonjour à tous...

Soient E un K-espace vectoriel et f un endomorphisme de E.
En posant (i):= Ker(f)=Ker(f°f) et (ii):= Im(f)=Im(f°f),

"E est somme directe de Ker(f) et Im(f) ssi (i) et (ii)".

Preuve???

Cordialement.
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[God's Breath]

Pour une solution toute faite, sans fatigue (pour toi comme pour nous) : dans tout bon livre d'exercices corrigés.

Sinon, on doit pouvoir t'aider si tu expliques clairement les difficultés que tu rencontres avec cet énoncé.

[Soel46]

Merci. Et bien j'arrive pas à construire (en supposant (i) et (ii)) les éléments de la somme Ker(f) + Im(f)... Schématiquement voici comment je prends le truc:

Je prends x dans E.
Si x est dans Ker(f), x est dans Ker(f)+Im(f).
Sinon, f(x) est non-nul. Et je trouve que f(x) est dans Im(f)\Ker(f) car sinon x serait dans Ker(f°f)=Ker(f).
Avec f(x), je veux z tel que x = z + f(x) et z dans Ker(f). Naturellement je conclurais en montrant que x - f(x) est dans Ker(f).
Mais je n'arrive pas conclure... Mon angle d'attaque est-il bon? Serais-je aveuglé par quelque chose...? M'aideriez-vous à conclure?

[God's Breath]

Il est très mauvais de distinguer si x appartient au noyau ou non : dans le deuxième cas, on doit travailler dans complémentaire du noyau, qui n'est pas un sous-espace vectoriel de E, ce qui n'est pas très sain, mathématiquement parlant.

Pourquoi veux-tu avoir x=z+f(x) avec x dans les deux membres ? C'est trop restrictif !

Une décomposition de x (quelconque) doit être de la forme x=z+f(y) avec z, c'est-à-dire x-f(y), dans Ker(f).
Écrire que x-f(y) appartient à Ker(f) devrait te permettre de déterminer y, donc la décomposition de x.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Soel46]

Entendu, merci Beaucoup...