Un peu de géométrie

[fregoli]

Elucubrations géométriques

E : espace tridimensionnel (O,X,Y,Z) orthonormé direct (espace classique euclidien à 3 dimensions)
S : sphère de centre O et de rayon R₀ (rappelons qu’une sphère est une boule creuse avec une épaisseur égale à zéro et un rayon fixé égal à R, donc un monde à 2 dimensions dans un espace à 3. On se repère sur la sphère à l’aide de deux coordonnées seulement, par exemple la longitude et la latitude, ou encore deux angles Phi et Theta en coordonnées sphérique)
P : Plan (0’’,X,Y), d’ordonnée Z₀ (donc là encore un monde à deux dimensions dans un espace à 3)

• Tout point M de la sphère est défini par l’équation X² + Y² + Z² = R₀²
• Tout point M du plan est défini par l’équation Z = Z₀

On suppose Z0² < R0², alors le plan et la sphère ont une intersection non vide telle que :

1) X² + Y² + Z² = R₀²
2) Z = Z₀

Soit X² + Y² = R₀² - Z₀² : les points M’(O,X,Y) décrivent un cercle C de centre O et de rayon SQR(R₀² - Z₀²).
L’intersection de la sphère et du plan est donc un cercle (fabuleuse découverte, mais là n’est pas mon propos initial), soit un monde à une dimension dans un espace à 3. (On se repère sur le cercle à l’aide d’une seule distance ou d’un seul angle).
On suppose maintenant que le plan se déplace suivant l’axe Z à vitesse constante V₀. (ah ah, j’en vois qui commence à soupçonner quelque chose …)
L’équation précédente devient : X² + Y² = R₀² - Z(t)²
Avec les conditions initiales suivantes :

t=0, Z(t) = -R₀
t=T, Z(t) =0
t=2T, Z(t) = R₀

L’équation est donc Z(t) = R₀ (t-T)/T = R₀ (t’ - 1) où t’ = t/T.
Ou encore Z(t) = V₀(t – T) = TV₀ t’ - R₀
Avec V₀ = R₀ / T
En reportant cette valeur Z(t) = R₀ (t’ - 1), on obtient l’équation du rayon du cercle C :
Rc² = R₀² - Z(t)² = R₀² - R₀² (t’ - 1)² où t’ = t/T (variable sans unité).
NB : t = T * t’, donc dt = T dt’ ou encore dt’/dt = 1/T
soit Rc² = R₀² (2*t’ - t’²) ou encore Rc = R₀ sqr(2*t’ - t’²)
La dérivation de Rc donne : d(Rc) / dt’ = Ve(t’) = R₀ (1 - t’) / sqr(2t’ - t’²)
Ce qu’on peut écrire sous la forme :

Ve(t) = d(Rc) / dt = (d(Rc) / dt’) *(dt’/dt) = 1/T * R₀(1 - t’) / sqr(2t’ - t’²) (qui est bien en unité de m/sec)

Choisissons deux points fixes A et B sur le cercle C, l’arc (AB) est égal à :

(AB) = R(t’) * Theta(AB) où Theta(AB) est l’angle au centre de l’arc (AB) (attention à ne pas confondre dans les lignes suivantes l’arc AB écrit sous la forme (AB) avec les parenthèses de calcul).

La variation de l’arc (AB) en fonction t’ est donc

d((AB))/dt’= Theta(AB) * d( R(t’)) / dt’ toujours avec dt’/dt = 1/T (NB : Theta(AB) est constant car les points AB sont fixes sur le cercle)

En développant, on trouve

d((AB))/dt’= Theta(AB) * R₀(1 - t’) / sqr(2t’ - t’²) et comme Theta(AB) = (AB) / R(t’),

cela devient :

d((AB))/dt’= (AB) * R0(1 - t’) / (R₀ sqr(2*t’ - t’²) * sqr(2t’ - t’²))

soit

d((AB))/dt’= (AB) * (1 - t’) / (2*t’ - t’²)

Donc

d((AB))/dt= d((AB))/dt’ * dt’/dt = (1/T) * (AB) (1 - t’) / (2*t’ - t’²)

ou encore

1 / (AB) * d((AB))/dt = (1/T) * (1 - t’) / (2*t’ - t’²) qui a l’unité de l’inverse d’un temps ( … nous y voilà ...…)

Bon, et alors …

Maintenant revenons juste au début, et ajoutons deux dimensions à l’espace E de départ, qui devient donc un espace à 5 dimensions (le temps étant une autre variable indépendante des 5 d’espace).
La sphère devient une hyper sphère (4 dimensions dans un espace à 5) et le plan, un hyper plan (4 dimensions dans un espace à 5).
L’intersection devient un hyper cercle (3 dimensions avec un rayon de courbure Rc = R₀ sqr(2*t’ - t’²)) qui commence par un point, s’accroît en passant au cercle, puis diminue jusqu’à un autre point, et puis … pouf… disparaît .
Cela ne vous rappelle pas quelque chose ???

Et pour finir, une application numérique, pour voir:
Prenons, au hasard : 1 / (AB) * d((AB))/dt = 2,33 10^-18 s^-1, on trouve le tableau suivant :

t'	(2*t’ - t’2)	(1 - t’) / sqr(2*t’ - t’²)	(1 - t’) / (2 t’ - t’²)	T (en Gy)
0,1	0,19	2,06	4,73	64,37
0,2	0,36	1,33	2,22	30,20
0,3	0,51	0,98	1,37	18,65
0,4	0,64	0,75	0,93	12,74
0,5	0,75	0,58	0,66	9,06
0,6	0,84	0,44	0,47	6,47
0,7	0,91	0,31	0,32	4,48
0,8	0,96	0,20	0,20	2,83
0,9	0,99	0,10	0,10	1,37
1	0	0	0	0

La valeur prise pour le calcul étant positive, les valeurs pour t’>1 ne sont plus dans le domaine de définition, puisque pour ces valeurs, la valeur de d((AB))/dt devrait être négative (les points du cercle se rapprochent au lieu de s’éloigner)

Un peu de géométrie euclidienne dans un monde à trois dimensions disposé sur un hyper cercle avec un rayon de courbure ...
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[silberic]

1) Bonjour
2) Le rapport avec l'astrophysique ?

[fregoli]

Bonjour,

T'en connais beaucoup de valeurs physiques qui sont l'inverse d'un temps et qui mesure une accroissement de taille, et qui de plus vaut 2,33 10e-18 s-1.

[Juzo]

Bonjour, je suis novice dans le domaine, mais peux-tu me préciser quel lien tu fais avec l'astrophysique ? Un parallèle avec le modèle du big crunch ?
Et à quoi correspond cette fameuse constante qui donnerait l'accroissement de la distance en proportion par seconde ?

Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[minushabens]

On se repère sur la sphère à l’aide de deux coordonnées seulement, par exemple la longitude et la latitude, ou encore deux angles Phi et Theta en coordonnées sphérique

c'est la même chose, non?