bonsoir à tous,
j'essaye de résoudre un exercice qui me semble simple intuitivement mais je n'arrive pas à m'en dépêtrer. On considère une fonction continue de (0; 1) (intervalle fermé) dans R telle que f(0)=f(1)
Il faut montrer que pour tout entier naturel p non nul, il existe x tel que f( x + 1/p )=f(x)
Pour p = 1 c'est évident mais le cas général me pose problème
Je pensais introduire une fonction: g(x)= f(x+ 1/p)-f(x) continue a son tour et tenter d'appliquer le th des valeurs intermédiaires pour montrer qu'elle s'annule; mais soit je m'y prends mal, soit ce n'est pas la bonne voie. En effet, cela marche pour p=2 car g(0) et g(1/2) sont opposés donc il existe compris entre 0 et 1/2 tel que g(x)=0 mais je bloque sur la suite.
Intuitivement, je vois bien que si f(0)=f(1) alors f doit passer au moins 2 fois par toutes les valeurs qu'elle prend (excepté peut être ses extrema) mais je ne saisis pas bien ce qui va faire qu'on peut, en particulier, pour tout p trouver un "couple" distant de 1/p dont les images sont les mêmes.
Je vous remercie par avance pour toutes les pistes que vous pourrez m'apporter (les indices plutôt qu'une démo 'ont les bienvenus)
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...c'est bon je viens de comprendre