Démonstration Ker et Im

[Lokaloka]

Bonjour, une démonstration de mon cours me pose problème:

Ker(gof)=Kerf ssi Kerg inter Imf ={OF}

C'est le sens direct que j'ai du mal à comprendre, voilà ce que nous avons écris:

On suppose Ker(gof)=Kerf.
Soit y appartenant à Kerg inter Imf.
Donc g(y)=0G et y=f(x).
Donc g(f(x))=0G donc x appartient à Ker(gof), donc x appartient à Kerf.
Donc f(x)=0F donc y=0F
Jusqu'à là tout est super logique mais la conclusion je ne comprends pas:
Donc Kerg inter Imf inclut dans {0E} Or 0F appartient à Kerg inter Imf donc Kerg inter Imf={0F}

Pourquoi Kerg inter Imf est inclut dans 0E ?
En quoi cela nous permet t'il de remplacer le appartient par un égal ?

Ca m'énerve de bloquer la dessus... J'ai essayer de représenter toutes les inclusions avec des 'patates' mais j'en arrive à dire que 0F est inclus dans 0E et ça me semble absurde de dire ça...
Merci d'avance! (niveau prépa BCPST)
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[gg0]

"Pourquoi Kerg inter Imf est inclut dans 0E ?" ?? Si tu as noté ça, tu t'es trompé. la bonne question est
"Pourquoi Kerg inter Imf est inclut dans {0F} ?" et ça, ... tu viens de le démontrer : Tout élément y de Kerg inter Imf est égal à 0F.
C'est la définition de l'inclusion.
"En quoi cela nous permet t'il de remplacer le appartient par un égal ?" On ne remplace nulle part un appartient par un égal. "0F appartient à Kerg inter Imf" se traduit par {0F} est inclus dans Kerg inter Imf. Toujours la définition de l'inclusion.

Cordialement.

[Lokaloka]

Ah bah oui voilà forcément!
Merci beaucoup