Suite d'éléments indépendants

[zaskzask]

Bonjour ,

Si j'ai une suite d'éléments intépendants cela veut dire que pour toute somme finie, alors les a_k valent 0. Mais est-ce que signifie que les a_k valent 0 ou il faut une condition suplémentaire?
-----

[Médiat]

Bonjour,

Que veut dire (une somme infinie, je ne sais pas faire)

[zaskzask]

ça veut dire non?

[gg0]

Ce sont quoi, tes ?
Et comment calcules-tu une limite dans cette situation ?

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[zaskzask]

Les x_n sont les éléments d'un espace vectoriel normé (V,norme).
Comment calculer la limite? En fait je comprends pas très bien pourquoi c'est ambigu (est-ce parce que j'avais pas dis qu'on était dans un espace vectoriel normé?). pour moi, la limite est la limite au sens de la norme, c'est bien ça?

[gg0]

Ok.

Donc tu as une suite infinie de vecteurs indépendants d'un espace vectoriel de dimension infinie, et tu sais que la série . Malheureusement, ça ne permet pas de dire que les a_k sont tous nuls. Voici un contre-exemple où ils sont tous égaux à 1 :
On considère l'espace vectoriel des suites "essentiellement nulles", c'est à dire qu'un nombre fini de la suite sont non nuls. On met dessus une norme quelconque, par exemple (je ne vérifie pas, je pense que c'est bien une norme). On définit comme étant la suite nulle sauf les termes d'ordre n et n-1 qui valent respectivement et (pour n=0, pas de terme d'ordre n-1). Donc




....

Alors en prenant a_k=1:

La norme de cette somme tend vers 0 quand n tend vers l'infini, donc


Cordialement.

NB : les sommes infinies se comportent généralement de façon très différentes des sommes finies.

[zaskzask]

ah oui, c'est un bon contre-exemple