Calcul d'incertitudes

[FuturPaces]

Bonjour à tous,

J'ai un problème avec plusieurs exemples d'incertitudes que je n'arrive pas à résoudre.

VO2max = 1,95 +/- 0,12 L.mn-1
m = 74,5 +/- 1,0 kg

Et il faut exprimer le débit spécifique égal à VO2max/m en mL.mn-1.kg-1.

Je fais donc le rapport entre les deux valeurs mesurées 1,95.10-3 / 74,5 = 26,6 mL.mn-1 avec trois chiffres significatifs.
Mais je n'arrive pas à trouver la valeur de l'incertitude de ce débit. Quelqu'un peut-il m'aider ?

Et avec un autre exemple plus compliqué:

L'énergie cinétique peut être calculée à partir de la masse et de la vitesse selon E=0,5mv2. Sur une course de 100m, Usain Bolt (94,0 +/- 1,0 kg(k=2)) est capable d'atteindre une vitesse maximale de 12,2 +/- 0,2 m/s (k=2). On peut calculer que son énergie cinétique maximale vaut Emax = 6995,48 J. En propageant les incertitudes de m et de v, quelle incertitude élargie (k=2) de Emax obtient-on ?

Ma démarche:
J'ai affaire à une formule avec un carré, donc je vais utiliser la formule de propagation d'incertitudes d'une fonction 'quelconque', càd que je n'utilise pas les formules 'toute faite' des propagations d'incertitudes pour une somme ou un produit. (Mon prof avait pris la formule de propagation d'incertitudes d'une fonction 'quelconque' pour le volume d'un cylindre où il y a un carré, du coup je me suis dit que j'appliquerais aussi cette formule car j'ai aussi affaire à un carré.. mais je peux avoir mal compris..)
Je calcule donc la dérivée partielle de E par rapport à m multiplié par l'incertitude de m puis la dérivée partielle de E par rapport à v multiplié par l'incertitude de v, et j'en fais la somme quadratique.

Quelqu'un peut-il me dire si c'est cette formule qu'il faut utiliser pour trouver l'incertitude ou je me trompe totalement ? Et s'il aurait l'amabilité de m'aiguiller sur le bon chemin ?

Ces deux exercices proviennent de QCM. Faisant plusieurs et différents calculs, je n'ai pas réussi à trouver les mêmes résultats que proposés dans les réponses..

Merci à celui ou celle qui m'aidera.
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[gg0]

Bonjour.

Il existe deux sortes de formules :
* des formules pour les sommes, produits, quotients, que tu peux utiliser pour ton premier exemple
* des formules générales pour les fonctions à une ou plusieurs variables.
Le premier cas est simplement un cas particulier du deuxième, à connaître pour aller vite (*).
Dans tous les cas, ces formules ne sont valables que si les incertitudes sont faibles par rapport aux valeurs, en particulier, pour les diviseurs, l'incertitude doit être faible par rapport à l'inverse du diviseur.
Lorsqu'on travaille sur des produits et quotient, le calcul de l'incertitude relative est le plus simple (dérivée logarithmique).

Pour ton deuxième exemple, comme tu n'écris pas ton calcul, difficile de savoir.

Cordialement.

(*) que ce soit avec le produit ou la dérivée, l'incertitude sur x² est 2xΔx

[FuturPaces]

Merci pour votre aide.

Si je n'avais pas réussi pour le premier cas à appliquer la formule pour un quotient, c'était parce que la réponse de cette formule nous donne une incertitude relative et donc j'ai oublié de faire un produit en croix pour pouvoir trouver mon incertitude absolue. J'ai compris mon erreur en refaisant le calcul.

Par contre pour le deuxième cas, il m'était compliqué d'écrire la formule c'est pour cela que je ne l'ai pas écrite et que j'ai essayé de l'écrire en détaillant mes calculs par écrit.

Je calcule donc la dérivée partielle de E par rapport à m multiplié par l'incertitude de m puis la dérivée partielle de E par rapport à v multiplié par l'incertitude de v, et j'en fais la somme quadratique.

La formule générale pour les fonctions à une ou plusieurs variables: U(y) = √(∑[∂f/∂xi]² U²(xi) .
Et en appliquant cette formule je n'ai pas réussi à trouver le résultat qui est normalement égal 1,2 J.

Je suis toujours coincée pour cet exemple.

[gg0]

On a E=0,5mv². donc ln(E)=ln(0,5)+ln(m)+2 ln(v)
En appliquant les différentielles :

le 0,5 a une différentielle nulle. On en déduit (pas de valeurs absolues puisque tout est positif) :

ne reste plus qu'à remplacer et finir le calcul.
En général, on passe directement de E=0,5mv² à .

Sans les logarithmes, c'est un peu moins systématique :
dE=0,5v²dm+0,5m(2vdv) (en utilisant les dérivées partielles).
ici, ça bien aussi.

Attention aux dénominateurs : Si a =b/c², on obtient

mais

Le - devient un + parce qu'on passe en valeur absolue.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Dlzlogic]

Bonjour,
La méthode de calcul par les dérivées logarithmiques, c'était au programme de 2nd, à mon époque.
Au niveau supérieur, il me parait nécessaire de savoir que les incertitudes se combinent quadratiquement, Avec un vocabulaire apparemment plus courant, les variances s'ajoutent.
Il est bien évident que les unités n'étant pas les mêmes, on ne peut pas ajouter des nombres sans précautions. Une bonne méthode consiste à utiliser des incertitudes relatives.
Le Pr Rouaud a expliqué cela en détail dans sont livre "Probabilités et incertitudes". Bonne lecture.

[JohnArto]

Le contexte du message de Dlzlogic est bien entendu dans le domaine des probabilités (somme de variables aléatoires indépendantes => les variances s'ajoutent).

Mais ce n'est pas absolument pas le contexte de la question posée par FuturPaces : les formules données par gg0 sont les bonnes dans ce contexte.

[Dlzlogic]

Bonsoir,
Le contexte de mon message est naturellement dans le contexte de calcul d'incertitude, c'est à dire dans le contexte exact de la question posée.
Le Pr Rouaud a consacré son livre à ce sujet.
J'ai ajouté l'expression "les variances s'ajoutent" pour être mieux compris. L'expression à employer étant "les incertitudes s combinent quatratiquement".
Bon calcul.

[FuturPaces]

Effectivement je n'ai pas vu la méthode de calcul par les dérivées logarithmiques.

La deuxième méthode par gg0 utilise des dérivées partielles, comme dans mon cours.
Mais je n'arrive pas à établir le lien avec ma formule U(y) = √(∑[∂f/∂xi]² U²(xi).

Si j'applique ce que gg0 m'a dit:
𝚫E/E = 𝚫m/m + 2 𝚫v/v
= 1,0/94,0 + 2 x 0,2/12,2
= 0,044

Donc 𝚫E = E x 0,044 = 307,8 J

Cette exemple est tirée d'un QCM annale qui propose comme réponse:
A: 1,2 J
B: 140 J
C: 250 J
D: 320 J

La réponse se rapprocherait donc de la réponse D selon mes calculs ? Mais n'est pas la réponse D pour autant.
Je pensais au départ que la réponse aurait été la A car on nous dit "Quel est l'item correct (arrondi à 2 chiffres significatifs)" et comme la réponse A est la seule avec deux chiffres significatifs je pensais que ca serait celle ci.
Pouvez vous me dire quelle est la réponse correcte et pourquoi sachant que mes calculs ne me permettent pas de trouver une réponse correspondant à celles proposées.

J'aimerais aussi comprendre le lien entre la formule proposée de gg0 que j'ai appliqué, et ma formule du cours: U(y) = √(∑[∂f/∂xi]² U²(xi)
Est-ce la même formule ?

[Dlzlogic]

Bonjour,
Je vais prendre l'exemple sur la formule R = Ui (j'avoue que j'ai un peu de mal à comprendre la vôtre).
Soit U = 100 +/- 2 en Volt et I=12 +/- 0.5 an ampère(un peu au pif)
Alors R=1200. Quel est l'incertitude sur R ?
dU=0.02 et dI=0.5/12 = 0.042
Alors dR = racine(dU² + dI²) = racine (0.02² + 0.042²)
Dans le cadre du calcul d'erreur on dit que les erreurs se combinent quadratiquement.
Vous lirez souvent dR = dU + dI, ce qui n'est pas bon.
Il y a lieu de rappeler que toutes ces notions, calcul d'erreur, écart-type, moindres carrés etc. se recoupent et ont comme base les probabilités.

[leon1789]

Si j'applique ce que gg0 m'a dit:
횫E/E = 횫m/m + 2 횫v/v
= 1,0/94,0 + 2 x 0,2/12,2
= 0,044

Donc 횫E = E x 0,044 = 307,8 J

Cette exemple est tirée d'un QCM annale qui propose comme réponse:
A: 1,2 J
B: 140 J
C: 250 J
D: 320 J
La réponse se rapprocherait donc de la réponse D selon mes calculs ? Mais n'est pas la réponse D pour autant.

Bonjour

FuturPaces :
en effet, aucune des réponses A,B,C,D ne correspond à l'incertitude sur 0.5 m. v² . C'est facile de vérifier :
si m = 94 et v = 12.2 alors 0.5 m v² = 6995 environ.
m est compris entre 93 et 95, v est compris entre 12 et 12.4 , donc 0.5 m v² est compris entre 6696 et 7304 , ce qui correspond (à un choua près) à 6995 +/- 308
L'incertitude sur E est bien de 308 .

Dlzlogic:
Oui, Mathieu Rouaud (comme plein d'enseignants) a expliqué dans son livre "Probabilités et incertitudes" la théorie des incertitudes en lien avec la théorie des probabilités (confer le titre du livre).
Mais il y a deux types d' << incertitude >> : l' Incertitude dite ponctuelle et les Incertitudes dites statistiques : voir ce petit document https://www.unige.ch/sciences/chiam/...itude_oral.pdf
La question de FuturPaces entre dans le premier type puisqu'il ne parle pas d'écart-type !
(Cela n'a rien à voir avec un niveau d'étude, en lycée ou enseignement supérieur)

[leon1789]

J'aimerais aussi comprendre le lien entre la formule proposée de gg0 que j'ai appliqué, et ma formule du cours: U(y) = √(∑[∂f/∂xi]² U²(xi)
Est-ce la même formule ?

Non, ce n'est pas la même chose du tout.

La formules de gg0 est donnée dans le cadre du calcul d'incertitude "ponctuelle" : c'est de l'analyse de variations.
L'enoncé << E=0,5mv2. Sur une course de 100m, Usain Bolt (94,0 +/- 1,0 kg(k=2)) est capable d'atteindre une vitesse maximale de 12,2 +/- 0,2 m/s >>
avec le symbole +/- indique que le cadre ad hoc est celui du calcul d'incertitude "ponctuelle".

Alors que la formule U(y) = √(∑[∂f/∂xi]² U²(xi) vient du cadre probabiliste du calcul d'incertitudes : cette formule a des hypothèses sur les variables aléatoires xi... on parle alors d'incertitude-type en lien avec l'écart-type des lois suivies par les xi
Encore une fois (je le dis souvent à ceux qui veulent bien l'entendre), les théorèmes du cours sont à connaître, oui, dans leur conclusion ... et aussi dans leurs hypothèses !

[gg0]

les 4 réponses sont arrondies à 2 chiffres significatifs.

Ta formule n'a rien à voir avec ce que j'ai proposé, il s'agit d'ailleurs d'une évaluation quadratique de l'erreur qui ne se justifie que dans certains cas particuliers. Revois ton cours pour voir de quoi il s'agit. Et dans quels cas tu peux l'utiliser (c'est une méthode dangereuse qui est utilisée par certains par confusion entre l'imprécis et l'aléatoire).

Cordialement.

[FuturPaces]

Dans mon cours, on me donne trois formules.

Une pour la propagation d'incertitudes d'une somme ou d'une différence: g=

Une pour la propagation d'incertitudes d'un produit ou d'un quotient: =

Et une pour une fonction quelconque: U(y) =
(d correspond à dérivée partielle, je n'ai pas réussi à faire un d rond)

Dans mon cours, mon prof a pris pour exemple la propagation d'incertitude sur le volume d'un cône. On a la formule du volume d'un cône: V = h/3 et il nous dit que V est un produit mais r est à la puissance 2 donc pas de formule de cas particulier toute faite donc on va prendre la formule de propagation d'incertitude d'une fonction quelconque càd U(y) = .

Pour l'exemple plus haut de l'énergie cinétique on avait comme formule E = 0,5m et donc comme on avait aussi un carré on allait aussi prendre la même formule que le prof a utilisé pour le volume d'un cône.
Pourquoi ne pourrait-on pas appliquer cette formule ?



PS: Que veut donc dire arrondi à deux chiffres significatifs ? Arrondi aux deux derniers chiffres des réponses proposées?

[JohnArto]

Bonsoir,
je pense que les réponses ci-dessus qui vous ont été apportées vous expliquent les différences d'application des formules.

Comprenez :
les deux formules de calcul de périmètre P = 2.pi.R pour un cercle, et P = 4.C pour celui d'un carré, ne sont pas les mêmes formules. Pourtant, elles sont données pour calculer des périmètres ! Alors, ont-elles un lien ? Non, pas de lien, et elles s'utilisent en fonction des circonstances : pour un carré, on utilise P = 4.C ; pour un cercle, on utilise P= 2.pi.R . On ne mélange pas les deux formules, on utilise l'une ou l'autre, en fonction de la situation carré ou cercle.

Dans votre situation, c'est pareil : le calcul d'incertitude se fait en fonction de la situation. Votre cours doit être précis à ce sujet (tout comme l'est votre énoncé en premier message).

[FuturPaces]

D'accord mais, comme dit, dans mon cours on me donne 3 formules que j'ai cité plus haut. Alors laquelle utilisée parmi les trois ? Sachant que la formule de gg0 n'apparait pas dans mon cours. Et le QCM est fait par mon prof, donc, les formules qui doivent être utilisées sont celles données uniquement dans mon cours.

[gg0]

Le nombre 1256=1,256.10³, arrondi à 2 chiffres significatifs donne 1300=1,3.10³. les chiffres significatifs, sont ceux qu'on va retrouver dans toutes les écritures, même scientifiques; en gros ne sont pas significatifs les zéros supplétifs en tête ou en queue.
Attention, quand on arrondit 1299 à trois chiffres significatifs, on obtient 1300=1,30.10³, le premier 0 est un chiffre significatif, pas un 0 supplétif.

Cordialement.

[FuturPaces]

Alors 307,8 arrondi à deux chiffres significatifs serait égal à 310 J ?

[FuturPaces]

Je suis totalement perdue. J'ai beau relire mes cours, je ne comprends pas d'où sort la formule de gg0 et dans quel cas l'utiliser et pourquoi l'utiliser dans ce cas là. Quel est le cas de E = 0,5m ?

Je me répète mais on ne me donne pas la formule de gg0 dans mon cours...

[gg0]

Effectivement,

tu sembles avoir d'autres formules, adaptées non pas à des expérimentations simples, mais à des résultats statistiques. Dans ce cas, laisse tomber mes indications et fais ce qu'on te demande de faire (si tu es ou vas en paces, tu auras besoin de faire ce qui est demandé).

[FuturPaces]

J'ai finalement réussi à trouver ma réponse et mon erreur.

Merci de votre aide.