endomorphisme bijectif

[Callistoriel]

Alors voila j ai un probleme avec les applications lineaires. quelle est la methode pour montrer qu un endomorphisme est bijectif?
par exemple avec cet exercice:
soit un endomorphisme de R^n defini par:
Fn (a,b)(ei)=a ei+ b en-i+1
pour tout i allant de 1 a n
ei et en-i+1 sont des vecteurs et i, n-i+1 et n sont indiques en indice
n etant pair
a et b sont non nuls
1)..
2)Montrer que F2(1,2) est bijectif.donner alors une base de imF2(1,2)
c est a partir de la question 2 que je coince un peu

merci de m eclairer
-----

[gg0]

Bonjour.

Il existe de nombreuses manières. Par exemple de prouver la bijectivité de la fonction.
Mais si tu regardes ton cours, tu verras que pour un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie, il te suffit de prouver soit l'injectivité, soit la surjectivité. Ça fait moitié moins de travail.
Il y a bien sûr d'autres façons (théorèmes divers sur les bijections, matrice et déterminant, ....) suivant les circonstances.

Bon travail !

[Médiat]

Bonjour,

Et qu'avez-vous, avant le blocage ?

Je vous rappelle que Latex est disponible sur ce forum, et que c'est très, très facile à utiliser :

[Callistoriel]

a la premiere question on m a demande d etablir la matrice associee a f.j ai trouve une matrice d ordre n de termes a et b sur les diagonales principales
est ce que je peut utiliser l inversibilite de la matrice de f2 pour montrer qu elle est bijective?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Callistoriel]

jai egalement dans l enonce que R^n est un ev sur R et il est muni de sa base canonique Bo:{e1,e2,...,en}.Mn(a,b) la matrice de fn dans Bo et ∆Mn(a,b) son determinant.j ai essaye de montrer la surjection de f2 en calculant f2(1,2)(ei) pour i de 1 a n, mais a partir de e3 je vois que ca ne fonctionne plus car e3 n a pas d image dans f2 a cause de eo(...?).est ce que je fais est juste?

[gg0]

est ce que je peut utiliser l inversibilite de la matrice de f2 pour montrer qu elle est bijective?

Si c'est un théorème de ton cours, bien sûr ! Pourquoi ne pourrais-tu pas utiliser les théorèmes ????

Cordialement.

[Callistoriel]

alors je n ai qu a trouver la matrice associee et montrer qu elle admet une inverse pou dire que f2 est bijective?

[ansset]

jai egalement dans l enonce que R^n est un ev sur R et il est muni de sa base canonique Bo:{e1,e2,...,en}.Mn(a,b) la matrice de fn dans Bo et ∆Mn(a,b) son determinant.j ai essaye de montrer la surjection de f2 en calculant f2(1,2)(ei) pour i de 1 a n, mais a partir de e3 je vois que ca ne fonctionne plus car e3 n a pas d image dans f2 a cause de eo(...?).est ce que je fais est juste?

est définie dans
n'existe pas plus que dans munie de la base canonique , donc aucune raison de calculer
pour , tu n'as qu'une matrice 2x2

[Callistoriel]

ah merci pour la reponse
jai trouve que det M2(1,2) est egal a 1,alors cela implique que f est bijective.alors une base de im(f2) est la base canonique de R^2?

[ansset]

quelle est ta matrice parce que le Det est faux.
quand à , c'est n'importe quoi.

[ansset]

je retire ma seconde phrase.telle qu'écrite, je ne pense pas que ce soit la réponse attendu.

[Callistoriel]

voici la matrice Mn(a,b) que j ai trouve.j ai l impression qu il y a une erreur la au coeur de la matrice sur les diagonales mais je ne vois pas comment faire autrement avec f_n

[gg0]

Examine sur des entiers n faibles ce qui se passe pour n pair et pour n impair.

Mais tu n'as pas besoin de ça pour ta question 2.

Cordialement.

[Callistoriel]

il y a aussi une erreur sur mon ecriture en latex

[Callistoriel]

Examine sur des entiers n faibles ce qui se passe pour n pair et pour n impair.

Mais tu n'as pas besoin de ça pour ta question 2.

Cordialement.

On a dit sur l enonce que n est pair

[gg0]

OK !

Mais j'espère que tu as regardé pour n=4 ou 6.

[Callistoriel]

je pense pourtant bien que la base canonique de R^2 est une base l image de f_2(1,2),car puisque f2 est bijective,elle est alors a la fois surjective et injective,alors Imf_2(1,2) est egal à R^n,non?

[gg0]

Effectivement, la base canonique de R^2 est une base de l'image de f_2(1,2). Tu as aussi, en lisant ta matrice, une base écrite de cette image.

[ansset]

edit: mauvaise lecture de l'énoncé de ma part.
correction utile de gg0.

[ansset]

mauvaise lecture car je pensais qu'on te demandais la nouvelle base.

ps: tu n'as pas répondu sur le Det de F_2(1,2).

[Callistoriel]

det M_2(1,2)=-3 d apres mon calcul

[ansset]

OK, je reposais la question car tu n'avais pas corrigé ton 1 du début.
cordialement.

[Callistoriel]

Est ce que les vecteurs (1,2) et (2,1) forment ils une autre base de l image?c est pas vraiment tres clair pour moi ici apres tout f2 s'exprime avec des vecteurs ei mais non pas avec des vecteurs quelconques de f2

[ansset]

oui, c'est une autre base de Imf(F), c'est aussi l'image de ta base canonique initiale de R²

[gg0]

N'importe quel couple de deux vecteurs non proportionnels de R^2 forme une base de R^2.
Autre idée : Si f est un isomorphisme de E sur F, alors l'image par f d'une base de E est une pase de F.

Cordialement.

[Callistoriel]

A la question 3 on me demande de calculer ker f_2(1,1).la je vois que f2 n est pas bijective alors comment trouver ker f2(1,1)?

[gg0]

Avec la définition ... ou tout théorème de ton cours qui aurai un lien.

Pourquoi n'essaies-tu pas de trouver toi-même à partir du cours ???

[Callistoriel]

le noyau de f2(1,1) est le vecteur nul car il n y a que ce vecteur qui a une image nulle dans R^2?

[ansset]

non,
soit V vecteur de coord (u,v) dans la base (e1,e2)
comment écris tu F_2(1,1)(V) =0

[gg0]

le noyau de f2(1,1) est le vecteur nul

Non, le noyau n'est pas un vecteur, mais un ensemble de vecteurs, et même un sous-espace vectoriel.