Loi lognormale base 10, moyenne et variance

[goz]

Bonjour,

J'utilise une variable Y distribuée selon une loi lognormale en base 10, et je ne suis pas très sur de moi pour calculer l'espérance et la variance...

Après m'être cassé les dents en retrouvant la fonction de densité de la loi lognormale base 10 et en essayant d'appliquer la méthode qui sert à retrouver l'espérance d'une loi log normale base e, je m'y suis pris de cette façon:
(log se réfère au logarithme en base 10 et ln à celui en base e)


soit une variable aléatoire X normalement distribuée: , et Y définie telle que: .
on a: (car )

d'où


Ce qui pour calculer les moyennes et variances nous conduit à:

et:


Ce qui nous fait retouver qui diffèrent de la loi log normale en base e uniquement par la base de l'exposant
Ce raisonnement vous semble t'il correct?

Je suis pas super serin pour le passage:
on a: (car )
d'où


Merci!
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[gg0]

Bonjour.

Définition classique :

Cordialement.

NB : ne pas confondre serein (tranquille) avec serin (petit oiseau).

[goz]

Merci,

Me voilà donc rassuré et geai comme un pinson

[goz]

Hello
Je remonte le sujet pour corriger une erreur ici (et en proposer une autre???):

on a: (car )
d'où

en fait il semblerait que:


d'apres la page wikipedia:
https://en.wikipedia.org/wiki/Log-no..._distributions
on a:
(edit quand X suit une loi lognormale ln(mu, sigma^2)...)


En repartant de X distribué selon une loi normale:


avec a = ln(10):

donc



Ce qui pour le calcul de la moyenne donne:




Le problème intervient quand je souhaite vérifier le tout de manière empirique, avec ce script R par exemple:

mu = 3.8
sigma = 1.3
n = 10000000

# x vecteur tiré selon X ~ N(3.8, 1.3)
x = rnorm(n, mean = mu, sd = sigma)

# ex ~ lnN(mu, sigma)
ex = exp(x)

#l10 et l10bis ~ logN(ln(10)mu, ln(10)^2sigma
l10 = 10^(x)
l10bis = ex^(log(10))

# mean(l10) renvoie 570790.9

# mean(l10) - mean(l10bis) renvoie -9.313226e-10 (erreur semblant acceptable)

# comparaison ex suivant une loi loi en lnN et sa moyenne théorique:
# mean(ex) - exp(mu + 0.5*sigma) renvoie 18.44316. Ca augmente, mais admettons

# comparaison l10 suivant une loi en logN et sa moyenne théorique:
# mean(l10) - 10^(mu + 0.5*log(10)*sigma) renvoie 372784. là ça déborde vraiment...

J'imagine donc qu'il doit y avoir une erreur quelque part. soit dans le raisonnement mathématique, soit dans le script R (je doute que l’imprécision sur les variables de R explique une telle différence)

Voyez vous d'où le problème pourrait venir?

Merci!

[A voir en vidéo sur Futura]

[goz]

Je m'auto répond...
En fait l'erreur venait du paramètre de la loi normale du script R pour lequel j'ai confondu variance et ecart type...

Le résultat du message précédent est en fait correct