Equation différentiel mélange de solution

[Omnitrix]

Bonjour à tous,

Je bloque sur le problème suivant :

Considérons une piscine équipée d'un système de filtrage obéissant au schéma illustré Fig.3.1.
Le volume V de la piscine reste constant, le volume des canalisations annexes est considéré comme négligeable. Sous l'action du système de filtrage, l'eau entre et sort de la piscine avec une vitesse F (litres/min). On considère que l'eau est chimiquement pure à la sortie du système de filtrage. On verse dans la piscine du chlore (sous une forme chimique appropriée) avec une vitesse I (gramme/min). On considère que le chlore se dissout instantanément et uniformément dans l'eau.
On demande de déterminer l'équation différentielle à laquelle obéit la quantité y(t) (gramme) de chlore présente dans la piscine à l'instant t et de résoudre cette équation.
Déterminer le volume de la piscine sachant qu'asymptotiquement on y trouve 200 gr de chlore, que I = 1 gr/ min et F = 200 1/min. ( je met le dessin en pièce jointe)

L'équation différentiel qui me semble approprié :

dCl/dt = 1 - 200Cl/V v = volume du bassin, Cl = masse de chlore

dCl/1-200Cl = dt

1-200Cl = Ae^-200t/V
Cl =( Ae^-200t/V -1)/200 je me demandais pour le terme

de là je ne vois plus trop et je n'ai pas bien compris la signification de la fin de l'énoncé ( sachant qu'asymptotiquement on y trouve 200 gr de chlore) si quelqu'un pouvait m'éclairicir...
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[Kairn]

Salut !

Ne trouves-tu pas étrange qu'aucune des deux vitesses introduites n'apparaissent dans l'équation que tu proposes ? (Équation qui, au demeurant, n'est pas homogène : d'un côté tu as des grammes/seconde, de l'autre des grammes/litre)

"asymptotiquement on y trouve 200 gr de chlore" : cela veut dire que y(t) tend vers 200 grammes quand t tend vers +infini.

[Kairn]

Oups, au temps pour moi, je suppose que le 1 et le 200 qui apparaissent correspondent à I et F ? Tu devrais laisser les notations I et F du début à la fin . (De plus, ce que tu appelles Cl est appelé y(t) dans l'énoncé, alors autant le respecter.)

Du coup, l'équation me semble correcte.

Je traduis ta réponse Cl =( Ae^-200t/V -1)/200 par : si c'est ce que tu as écris, il me semble que ce n'est pas tout à fait cela. y(t) s'exprime en grammes, tandis que le rapport I/F est grammes/litre : il te manque un volume quelque part.

En utilisant la condition initiale, tu peux trouver la constante d'intégration A ; puis en utilisant la donnée asymptotique, tu peux déterminer V en calculant une limite.

[Omnitrix]

la résolution de mon équation différentielle n'était pas correcte j'ai oublié le V comme tu l'as dit. Merci pour ton aide.

[A voir en vidéo sur Futura]