Indépendance dans un espace fonctionnel

[Soel46]

Bonjour,
Si a et b sont des réels avec a>0, E est l'ensemble des applications du segment [0,1] dans R (ensemble des nombres réels);
Soit à étudier la dépendance linéaire dans E de où et .

Quelle approche analytique me suggériez-vous? J'ai tenté certaines choses mais je ne vais pas jusqu'au bout.
Merci.
-----

[Resartus]

Bonjour,
C'est pratiquement du cours...
Si deux vecteurs sont dépendants, quelle est l'équation qu'ils vérifient?
Est-ce le cas ici?

[Seirios]

Ce n'est pas plutôt qui devrait être strictement positif ?

[Soel46]

Bonjour, merci et désolé car je ne vois pas trop le truc !
Je prend une famille finie (à p éléments, disons) de réels strictement positifs deux à deux distincts et classés dans l'ordre croissant ; elle donne une sous-famille de la famille de fonctions.
Si p=2, la liberté est immédiate (analyse sur rapport constant...).
Si p est quelconque, en tentant l'analyse sur le rapport constant je ne vais pas au bout, c'est insatisfaisant.
Nous sommes sur le segment [0, 1], mon pauvre savoir est alors limité:

Développement limité en 0 à l'ordre n, c'est lourd et ça ne me donne pas la liberté (enfin, c'est moi).
Je donne une suite de p valeurs à l'expression de sorte d'avoir un système homogène ?!

Ps: prenons b>0, alors...???

Merci bien, et pardon pour ma tardive réponse!

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

Définition : deux vecteurs et sont linéairement indépendants si, pour tous réels c et d

le premier 0 est à interpréter comme la fonction nulle.
Comme très souvent avec les fonctions, on revient aux antécédents et images, et donc il faut démontrer

où cette fois, le premier 0 est le réel 0.
C'est très facile à faire ...

Cordialement.

Pour Sérios : b peut avoir le signe qu'on veut, mais il doit être non nul (pas dit dans l'énoncé). Et a>0 est nécessaire pour que f_a soit définie en 0.

[gg0]

Soel46,

après relecture de ton message, j'ai l'impression que tu cherches à travailler avec toutes les possibilités pour a et b. Ton énoncé ne parle que d'un a et d'un b.

Cordialement.

[Soel46]

Bonjour
En effet, pardonnez mon imprécision (débuts en Latex), c'est des deux familles de fonctions et dont je souhaite étudier la dépendance linéaire.
Avec et

Merci.

[gg0]

Effectivement, c'est plus coton !

J'ai l'impression que c'est deux preuves indépendantes qu'il te faut, l'une pour la famille des f_a, l'autre pour les g_b. Pas de mélange, n'est-ce pas ?
Tu as donc une combinaison linéaire nulle de n éléments de la famille . En prenant n valeurs de t entre 0 et 1, tu obtiens un système de n équations à n inconnues (les coefficients), dont il te suffit de montrer qu'il est de Cramer, puisqu'il a comme solution évidente la nullité des coefficients. Mais je n'ai pas d'idée sur ce genre de calcul de déterminant.

Désolé !

[Soel46]

Evidemment pas de mélange!
Le truc des valeurs c'est pas très élégant... Il y a bien une technique, un truc analytique à la Villani à faire!

Merci beaucoup à vous.

[Resartus]

Bonjour,
Si vous avez déjà appris les prolongements analytiques, on peut prolonger sur C les fonctions g, qui ont des pôles en +ib et -ib.
Il est alors facile de montrer qu'une combinaison linéaire finie de ces fonctions ne peut pas donner zero.
Pour les fonctions f, on peut faire pareil, mais en passant d'abord par les dérivées (qui ont des pôles en -a)