Primitive de quotient de fonctions

**Synbel** · 22/10/2016, 21h12

Bonjour,

Je souhaite trouver une primitive de cette fonction :

(x^2)/((x^²+a^²)^(3/2)) sur R.

Ou a est une constante de R.

En fait dans ce cas je sais que la réponse est : ln(sqrt(a²+x²)+x) - x/sqrt(a²+x²)

Et plus généralement des fonctions de la forme :

((x^a)+b)/((x^c+d^e)^q) où q est un nombre appartenant à Q ( j'ai rencontré 3/2 et 3/4 principalement) et a,d,b des constantes de R et c,e des constantes de N.

Le problème est que je ne connais pas la démarche pour obtenir les résultats recherchés. J'ai tenté des intégrations par partie, des changements de variable, des transformations d'écriture et dans certains cas, ça marche... dans d'autres pas... et c'est justement ces autres cas le problème. (en fait peut-être qu'il y a des solutions par CDV et IPP, mais je les ai pas trouvées)

Merci d'avance si quelqu'un veut bien m'aider, et bonne soirée =)

**Synbel** · 23/10/2016, 12h18

Toute aide même partielle serait appréciée ! (même si ce n'est que sur le cas particulier)

Je cherche mais vraiment je ne vois pas.

**Médiat** · 23/10/2016, 12h30

Bonjour,

Il me semble qu'une intégration par partie fonctionne bien dans le premier cas.

**ansset** · 23/10/2016, 12h34

bjr,
tu peux faire une IPP en écrivant ta fonction x*(x/(x²+a²)^(3/2))
le terme sous la parenthèse est la dérivée de 1/(x²+a²)^(1/2)...
Cdt

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**gg0** · 23/10/2016, 12h37

Bonjour.

A priori, il n'y a pas de raison que l'on ait des méthodes de calcul pour les intégrales. On sait même que la plupart des fonctions continues sur un segment [a,b] avec a<b n'ont pas de primitive exprimable par du calcul, quand bien même la fonction le serait.

Donc pour "((x^a)+b)/((x^c+d^e)^q) où q est un nombre appartenant à Q ( j'ai rencontré 3/2 et 3/4 principalement) et a,d,b des constantes de R et c,e des constantes de N ", il n'y a pas de raison qu'il existe des méthodes.
On trouvait autrefois dans certaines BU des livres de référence pour les primitives, avec des milliers de cas particuliers de fonctions intégrables, et quelques dizaines de formes générales.
Actuellement, on utilise très souvent des calculs approchés (souvent très efficaces) et, évidemment, les méthodes formelles qui permettent aux logiciels de calcul formel de donner parfois des réponses.

Pour ta première fonction, l'idée de Médiat semble bonne, le dénominateur faisant penser à une dérivée.

Cordialement.

**Synbel** · 23/10/2016, 18h12

Un grand merci à tous pour vos réponses,

Je vais ré-insister avec l'IPP sur vos conseils.

J'étais au courant qu'il y avait des fonctions complexes à intégrer, voire sans expression sous forme de fonctions usuelles... etc... mais je pensais (/ j'osais espérer) qu'il y avait une solution "générale" pour cette forme qui ne pas l'air si complexe. J'avais en cherchant quelque peu sur internet trouvé des méthodes sur les fractions rationnelles et intégrations sur décomposition d'éléments simples (?), il me semble que c'était assez loin de ce que j'avais appris en cours (et également que cela concernait les exposants entiers et non rationnels), je n'ai donc pas creusé cette piste plus profondément. Pour ce qui est des techniques approchées de détermination des intégrales et méthodes associées, en L1/début de L2, ca ne m'a toujours pas été évoqué, je sais pas à quelle distance ça se situe de moi, disons. Enfin, cela permet-il d'avoir un résultat pour toute fonction admettant une primitive ?

Au passage, je suis désolé mais je ne sais pas s'il existe un moyen sur futura-sciences forum pour marquer la discussion comme résolue afin de clarifier le fil.

Merci.

Cordialement,
Synbel.

**gg0** · 23/10/2016, 19h46

"mais je pensais (/ j'osais espérer) qu'il y avait une solution "générale" pour cette forme qui ne pas l'air si complexe"
mais il y a des cas très simples pour lesquels il n'y a pas de méthode. Déjà, uniquement avec des fonctions rationnelles et de la trigo, il n'y a pas de primitive pour la plus simple des fractions rationnelles 1/x. Il faut aller chercher une fonction totalement différente, le logarithme. Ensuite, on démontre que exp(x²), sin(x)/x, exp(x)/x n'ont pas de primitives exprimables avec les "fonctions élémentaires". ce sont pourtant des fonctions qui ne sont en rien compliquées.
les techniques de calcul approché sont surtout vues dans des modules d'analyse numérique, et on peut aller jusqu'au doctorat sans en avoir fait. Mais il faut savoir que ça existe, et y jeter un coup d’œil, pour la culture mathématique. les BU sont là pour ça

Cordialement.

**stefjm** · 24/10/2016, 10h57

Envoyé par gg0

A priori, il n'y a pas de raison que l'on ait des méthodes de calcul pour les intégrales. On sait même que la plupart des fonctions continues sur un segment [a,b] avec a<b n'ont pas de primitive exprimable par du calcul, quand bien même la fonction le serait.

Bonjour,
Au début, c'est quand même très contre intuitif.
Techniqueùent, on peut calculer facilement la dérivée des fonctions dérivables.
Quand j'étais petit, je me suis longtemps demander le pourquoi (simple) de la difficulté de l'intégration de fonction intégrable.
Je crois bien que je me demande encore quelle est la raison profonde.
Cordialement.

**Médiat** · 24/10/2016, 11h00

Bonjour stefjm,

Il est plus facile de sauter du cinquième étage vers le sol que de sauter du sol vers le cinquième étage

**gg0** · 24/10/2016, 17h52

Bonjour Stefjm.

Petit, je savais démonter les réveil-matins, je n'ai jamais su les remonter.
Puis j'ai appris à développer, mais je ne sais toujours pas factoriser les polynômes à une variable.
Ensuite, j'ai vu qu'on calculais facilement les images des nombres par des bijections, mais qu'exprimer les réci^proques était généralement "infaisable".

Cordialement.

**stefjm** · 24/10/2016, 22h05

Bonsoir,
Vous êtes en forme!

J'ai quand même du mal à saisir pourquoi intégrer (formellement) est plus difficile que dériver. Y a-t-il un pourquoi accessible autre que l'évidence?

Cordialement.

**gg0** · 25/10/2016, 09h14

Bonjour Stefjm.

Intégrer est retrouver comment on a démonté (dérivé) la fonction. Alors même que ce qui est écrit n'est pas nécessairement le résultat d'une dérivation d'une fonction qu'on "sait écrire". Si on n'est pas trop précis, et pour une intégrale, on sait très bien faire avec les calculs approchés d'intégrales. Là, plus besoin de "remontage", on obtient directement le résultat approché. mais pour une intégrale exacte, ou surtout une primitive, il n'y a pas de méthode systématique.
Mais en fait, quand on apprend les primitives avec un bon prof, on sait tout de suite pourquoi : Si on a une formule pour intégrer les sommes (dérivée d'une somme), on n'a pas de formule pour dériver les produits UV n'apparaît pas comme "dérivée de ...", on a seulement des produits très particuliers.

Maintenant, on peut toujours rêver qu'il existe une méthode pour recoller les bols cassés parce qu'on les a fait tomber et un calcul qui donne des primitives de produits quelconques.
Mais en maths, comme ailleurs, on ne fait que ce qu'on sait faire. Même si l'enseignement oublie souvent de noter les limitations.
Quant à expliquer ces nombreuses limitations, ça relève plus de la philo que des maths (car les maths c'est le domaine de la preuve, et ici, justement, on n'en a pas !).

Cordialement.

NB : Il y a des calculs très simples qu'on ne sait pas inverser. Dès le CE2, on peut voir que si on multiplie deux nombres (entiers à cet âge) et qu'on obtient 24, on ne sait plus quels sont les nombres qu'on a multipliés !!

**gg0** · 25/10/2016, 09h16

J'oubliais : Pour une fonction f continue sur un intervalle I on connaît toujours une primitive, si on connaît un élément a de I :
$\text{[math]}$
Dans ce cas, formellement, on a une réponse.

**stefjm** · 25/10/2016, 11h10

Envoyé par gg0

Mais en fait, quand on apprend les primitives avec un bon prof, on sait tout de suite pourquoi : Si on a une formule pour intégrer les sommes (dérivée d'une somme), on n'a pas de formule pour dériver les produits UV n'apparaît pas comme "dérivée de ...", on a seulement des produits très particuliers.

Et idem pour la composition.
C'est finalement sympa d'arriver à dériver un produit en raison de la bilinéarité.

Envoyé par gg0

Maintenant, on peut toujours rêver qu'il existe une méthode pour recoller les bols cassés parce qu'on les a fait tomber et un calcul qui donne des primitives de produits quelconques.
Mais en maths, comme ailleurs, on ne fait que ce qu'on sait faire. Même si l'enseignement oublie souvent de noter les limitations.
Quant à expliquer ces nombreuses limitations, ça relève plus de la philo que des maths (car les maths c'est le domaine de la preuve, et ici, justement, on n'en a pas !).

Ce serait l'étape suivante de définir le sens difficile et de retrouver le sens facile comme cas particulier?

Envoyé par gg0

NB : Il y a des calculs très simples qu'on ne sait pas inverser. Dès le CE2, on peut voir que si on multiplie deux nombres (entiers à cet âge) et qu'on obtient 24, on ne sait plus quels sont les nombres qu'on a multipliés !!

Je trouve amusant de voir qu'on commence l'enseignement avec la théorie des nombres, une des branches des mathématiques les plus difficiles.

**gg0** · 25/10/2016, 11h23

Stefjm :

Je n'ai pas compris la phrase "Ce serait l'étape suivante de définir le sens difficile et de retrouver le sens facile comme cas particulier?".

Sinon, parler de "théorie des nombres" à propos de l'apprentissage du calcul à l'école primaire est du même niveau que parler de théorie du genre à propos de cours de biologie

.

Cordialement.

**ansset** · 25/10/2016, 12h30

Dans tout ça, j'espère que Synbel a résolu son intégrale.
Cdt

**stefjm** · 25/10/2016, 14h14

Envoyé par gg0

Je n'ai pas compris la phrase "Ce serait l'étape suivante de définir le sens difficile et de retrouver le sens facile comme cas particulier?".

Dans la construction de l'édifice mathématique, on m'a d'abord défini l'opérateur dérivée, puis l'opérateur réciproque.

Je trouverai logique d'essayer de faire l'inverse mais apparemment, ce doit être difficile (C'est ce que tu dis : "on peut toujours rêver.").

**gg0** · 25/10/2016, 14h39

Non, on peut parfaitement faire l'inverse, ou bien définir l'intégrale, les fonctions définies par une intégrale, les dérivées, puis découvrir qu'il y a un lien. D'ailleurs historiquement, on a fait un peu ainsi, et la grande découverte du XVII-ième siècle est que "le problème des aires est l'inverse du problème des tangentes".
Il y a juste un problème : Techniquement, on n'a pas de méthode générale pour le calcul des intégrales de fonctions obtenu par calcul à partir des fonctions intégrables. Et Heureusement, il y a une technique générale pour le calcul des dérivées de fonctions obtenu par calcul à partir des fonctions dérivables. Donc on a échappé au pire.

Cordialement.

**Synbel** · 27/10/2016, 00h52

Envoyé par ansset

Dans tout ça, j'espère que Synbel a résolu son intégrale.
Cdt

Oui, quant à moi, j'ai bien réussi mon intégrale. Merci encore !

Primitive de quotient de fonctions