espace vectoriel des polynômes

[inki999]

voilà le sujet d'un examen que j'ai passé en septembre et dont j'aimerais bien avoir une aide pour le résoudre.

soit l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et soit l'espace vectoriel des polynôomes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 2 muni de sa base canonique.

définissons l'application

où le polynôme est défini par :



1. Montrer que est un endomorphisme de . Ecrire la matrice de notée M()B,B dans la base canonique B de

Je sais pas trop comment prouver que c'est un endomorphisme. Dois prendre une polynômes du type ax²+bx+c et déterminer Q ? Pour la matrice, je suis un peu perdu aussi, si je calcule Q(1), Q(x) et Q(X²) , j'obtiens Q(1)=-1 , Q(X)=0 et Q(x²)=1 .....
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[ansset]

bjr,
Q(x) est il un polynome et quel est le degré max de Q(X) quand X app à R2 ?
pour la matrice , il suffit de regarder la transformation de chaque élément de la base canonique.

[inki999]

si je prend P(X)=aX²+bX+c, j'obtiens Q(X) =a-c , je vois pas comment cela peut être un endomorphisme?

[ansset]

bonsoir,
c'est quoi un endomorphisme ? à ne pas confondre avec l'isomorphisme .

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Bonsoir,

inki999, ... Ne pas oublier de montrer que est une application linéaire.

Cordialement

[inki999]

un endomorphisme d'espace vectoriel R² est une application linéaire f : R² → R²?

[PlaneteF]

D'une manière générale : https://fr.wikipedia.org/wiki/Endomorphisme

Yapuka

[inki999]

c'est ce que je viens d'écrre non?

[Resartus]

Bonjour,
Déjà, attention aux notations : l'espace vectoriel R2[X] est de dimension 3 ,et n'a rien à voir avec R2.
Ensuite, tu as fait des erreurs de calculs l'endomorphisme en question n'a pas du tout des termes en X et X2 nuls (et ton terme constant est faux).

[ansset]

re-

c'est ce que je viens d'écrre non?

tu as simplement écrit avant :

si je prend P(X)=aX²+bX+c, j'obtiens Q(X) =a-c , je vois pas comment cela peut être un endomorphisme?

[PlaneteF]

inki999, ... dans ton cas c'est , ... Ensuite il faut que tu démontres que et que est une application linéaire.

A noter que comme tu as écrit l'énoncé, ne peut pas être un endomorphisme car l'ensemble de départ n'est pas le même que l'ensemble d'arrivée.

Cdt

[ansset]

A noter que comme tu as écrit l'énoncé, ne peut pas être un endomorphisme car l'ensemble de départ n'est pas le même que l'ensemble d'arrivée.

peux tu préciser ?
c'est bien un endomorphisme , non ?
et je ne vois pas de "coquille" dans l'énoncé.

edit : de R2 dans R, c'est ça ? ..... tu chipotes non ?
si c'est mal rédigé par le prof, c'est pas la faute de l'élève.

[PlaneteF]

ansset, ... Voici l'énoncé donné :

définissons l'application

L'ensemble de départ est bien différent de l'ensemble d'arrivée.

Cdt

[inki999]

je comprend pas :
p(x)= ax²+bx+c
p'(x)=2ax+b
p"(x)=2a
Q(x)=1/2(1-x²)(2a)+x(2ax+b)-ax²-bx-c=a-c

[PlaneteF]

Met bien à la place de , ... il s'agit ici de polynômes formels et n'est pas une variable réelle, c'est juste une façon d'écrire.

Cdt

[ansset]

le calcul est juste :
après deux manière de voir les choses:
R inclus dans R2 , donc pour moi l'image de theta(P) est bien dans R2 et c'est un endomorphisme.
pour planète la définition de théta fait que , par principe , cela ne devrait pas l' être car l'espace d'arrivé est diff , ce qui est contraire à la définition.
alors, boulette du prof sur le "formalisme" si cher à PlanèteF ou mauvaise recopie...
moi, je ne rentre pas trop dans ces débats de pure forme.
j'estime qu'on ne se concentre pas sur l'essentiel !

[ansset]

évidement quand je dis R inclus ds R2 , je parle de l'espace des vecteurs de degré n.

[PlaneteF]

j'estime qu'on ne se concentre pas sur l'essentiel !

Oh que c'est discutable, ... je pense même au contraire que l'essentiel est en premier lieu là !!! ... Mais ce n'est pas l'objet de ce fil.

Cordialement

[inki999]

le calcul est juste :
après deux manière de voir les choses:
R inclus dans R2 , donc pour moi l'image de theta(P) est bien dans R2 et c'est un endomorphisme.
pour planète la définition de théta fait que , par principe , cela ne devrait pas l' être car l'espace d'arrivé est diff , ce qui est contraire à la définition.
alors, boulette du prof sur le "formalisme" si cher à PlanèteF ou mauvaise recopie...
moi, je ne rentre pas trop dans ces débats de pure forme.
j'estime qu'on ne se concentre pas sur l'essentiel !

merci! Mais si on a Q(X)=a-c , R[X] n'est même pas l'ensemble d'arrivé non?

[ansset]

Mais ce n'est pas l'objet de ce fil.

c'était le sens de mon message.

[PlaneteF]

merci! Mais si on a Q(X)=a-c , R[X] n'est même pas l'ensemble d'arrivé non?

Ne confond pas "ensemble d'arrivée" et "image".

Cdt

[ansset]

merci! Mais si on a Q(X)=a-c , R[X] n'est même pas l'ensemble d'arrivé non?

par définition de theta , non !
c'est purement formel, mais c'est à lui de répondre puisqu'il a fait cette objection.

ps : est ce bien l'intitulé ( de R² ds R ) ?
boulette du prof, qu'il vaut mieux oublier ou lui faire remarquer , à défaut !

[inki999]

je comprend pas....

[PlaneteF]

Qu'est-ce que tu ne comprends pas ?

[ansset]

ansset, ... Voici l'énoncé donné :

oui, j'ai très bien compris ce qui te gène.
mais pour moi , c'est une erreur "formelle" du prof, pas de l"élève encore une fois.

[PlaneteF]

mais pour moi , c'est une erreur "formelle" du prof, pas de l"élève encore une fois.

Mais je n'incrimine nullement inki999 !! ... C'était une remarque !

Cdt

[ansset]

après tu peux discuter directement avec lui si cela te chante,
il est probable qu'il te dise que l'ensemble des polynôme de degré n est inclus dans celui de degrés supérieurs.
pour moi ce genre de débat est un peu stérile.
alors que sur d'autres points liés au formalisme, je peux être bien plus dur.

[ansset]

en résumé, tu ne penses pas que tu embrouilles plus le sujet que tu n'aides l'élève ?

[PlaneteF]

pour moi ce genre de débat est un peu stérile.

L'expression de ton point de vue et du mien a sa place dans ce fil, je pense que c'est fait, ... par contre ce débat est bien à faire en dehors de ce fil.

Cdt

[inki999]

j'ai bien fait une erreur de recopiage, il s'agit bien évidement de démontrer que theta est un endomorphisme de R2[X].