Qu'est-ce que l'idempotence rajoute à un pré-ordre ?

[benzetor]

Le pré-ordre en question est le suivant : a< = b --> il existe dans l'ensemble tel que a + x = b. Je précise que l'ensemble en question est celui des réels.

J'arrive aisément à prouver qu'il s'agit d'un pré-ordre, et même d'un ordre puisque j'ai l'anti-symétrie. Mais l'exercice que je traite me demande de prouver qu'il s'agit d'un pré-ordre seulement.
Puis après cela, en rajoutant le fait que la loi "+" est idempotente (x+x =x ) prouver qu'il s'agit d'un ordre.

Là c'est la partie de l'exercice où j'ai cherché, je vous avoue que ce qui suit, je n'arrive même pas à comprendre la question :
"Montrer que si la loi est inclinée ( pour tout réel 1 + x = 1 ) sur un ensemble alors celui-ci est borné et la loi + se comporte comme un sup. Quid de la loi x ? "

Je vous remercie par avance.
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[gg0]

Bonjour.

Ton début de message est confus : " il existe dans l'ensemble tel que a + x = b." ??? Il existe quoi ? Dans quel ensemble ?

la suite m'a laissé penser que c'était " il existe un x dans l'ensemble R tel que a + x = b." Comme tu ne dis rien sur a et b, on peut supposer que la relation en cause est sur R, l'ensemble des réels. Alors comme b-a existe toujours, tous les réels sont en relation. Il n'y a donc pas du tout antisymétrie.

Bon ! Inutile de continuer, je ne vais pas inventer un sujet. Si tu es sérieux, tu donnes l'ensemble de l'énoncé, au moins jusqu'à la deuxième question que tu cites et qui n'a pas de sens pour moi non plus.

Cordialement.

[gg0]

A noter : + n'est pas idempotente. Donc tu trahis sérieusement ton énoncé !! Il arrive qu'on note + autre chose que l'addition des réels, mais soit on le dit, soit c'est un contexte qui rend évident la loi en question !!!

[benzetor]

Bonjour gg0,

Tout d'abord, vous avez raison, il s'agit bien d'un "il existe x " qu'il fallait lire.

Puis pour l'antisymétrie, je vous rejoins, il n'y a pas d'antisymétrie, bien que je ne comprenne pas votre explication (les b-a sont en relation ...).

Pour l'ensemble, j'ai dit réel, mais la consigne dit plutôt un anneau semi-commutatif (R, +, x, 0, 1 ).

Pour l'idempotence, certes la première loi ne l'est pas, mais la consigne est bien celle-ci. Mon interprétation étant qu'ils ont complexifiés la première loi en la rendant idempotente.

Enfin, je vous remercie pour votre réponse.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Bonjour,
est-ce que vous voulez dire "semi-anneau commutatif" ?

Montrez-nous vos calculs, entre autres pour l'anti symétrie, et il y a de fortes chances que l'on puisse pointer quelques erreurs

[benzetor]

Bonjour Mediat, oui il fallait bien lire semi-anneau commutatif, décidemment... pour l'anti symétrie, j'ai bien vu mon erreur en essayany de rédiger, dans ce fil, ma réponse .

Solution que voici :

Soient a,b appartenant à R tel que a <= b et b< = a

alors il existe x, y appartenant à R tels que :

a +x = b et b+y = a . En remplaçant a par sa valeur, on obtient dans la deuxième expression b + y + x = b . De là, je bloque.

[Médiat]

Il ne vous reste plus qu'à ajouter y des 2 cotés

[benzetor]

Merci Médiat,

Je détaille la suite pour ceux qui auraient un problème équivalent (ce qui permettra de voir aussi si j'ai bien compris)

b+ y + x + y = b+y

donc b+y + x = b +y (car y + y = y )

a + x = a ( car b+ y = a )

et enfin a = b (car a + x = b) et le tour est joué.

[Médiat]

Il faudrait rédiger mettant les parenthèses et en explicitant les propriétés utilisées (associativité, commutativité, ..)

[benzetor]

C'est vrai.

J'aurai une autre question, si j'exhibe un majorant d'un ensemble, cela prouverait-il l'existence d'une borne sup ? Dans le cas où c'est oui, cela me gêne, en effet si je considère l'ensemble M des majorants d'un ensemble X, rien ne me dit que l'ordre sera total dans cet ensemble, et donc il m'est impossible d'avoir le plus petit majorant.

[Médiat]

Bonjour,

L'existence de majorant(s) n'implique pas l'existence de la borne sup, même pour un ordre total (l'ensemble des rationnels dont le carré est inférieur à 2, par exemple)

[benzetor]

Merci beaucoup Médiat ! Même dans le cas d'un ensemble fini ?

[Médiat]

Si, pour un ordre total et fini, cela marche