equivalent et developement limité

[jade2609]

Bonjour j'ai un exercice de math pour jeudi et je tourne en rond

On définit la fonction f par f(x)=(x²+1)ln((x+1)/x)+(x²+x-1)/(x+1)

1) Quel est l'ensemble de definition de f

2) Chercher un equivalent simple de f en 0 puis calculer la limite de g(x) lorsque x tend vers 0. même question en -1

3) a) Calculer les DL₃(0) de (1+h²)ln(1+h) et (1+h-h²)(1+h)

b) Montrer qu'il existe des constantes a, b et c telle que, pour x au voisinage de +ou - l'infini,

f(x)=ax+b+c/x+o(1/x)

Que peut on en deduire de la courbe representative de f?

Pour la question 1 pas de problème j'ai trouvé l'intervalle ]-l'infini ; -1] U ]0 ; +l'infini[
Pour la question 2 en revanche j'ai essayer de passer par les équivalents et les petits o mais je n'arrive à rien

Merci d'avance pour votre aide
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[gg0]

Bonjour.

La question 2 est effectivement un peu perturbante, la limite en 0+ s'obtenant facilement sans équivalents. Puisque l'énoncé demande explicitement de passer par des équivalents, pour 0, élimine les termes négligeables, comme la fraction, remplace par des équivalents dans les produits, éventuellement remarque que (x+1)/x=1+1/x. Pour -1, il va falloir comparer les deux termes de la somme, pour savoir lequel est négligeable.

Bon travail !

[jade2609]

J ai bien trouver les limites avec un changement d indice quand x tend vers -1 mais je ne comprend pas comment trouver les equivalent simple malgre votre explication

[gg0]

Ok.

En 0 (avec x>0), (x²+x-1)/(x+1) tend vers -1, x²+1 vers 1, donc est équivalent à 1 (*), (x+1)/x tend vers +oo, donc son log aussi. Le deuxième terme est négligeable, et on a donc comme équivalent ln((x+1)/x)=ln(1+1/x).
Je te laisse chercher à titre d'exercice si tu peux encore arranger ça et prendre ln(1/x)=-ln(x)

En -1, (x²+1)ln((x+1)/x)=(x²+1)(ln(x+1)-ln(x)) est équivalent à 2ln(x+1) (à toi de justifier) et (x²+x-1)/(x+1) est équivalent à -1/(x+1).

Suite sur un nouveau message, enregistrement non prévu de celui-ci.


(*) règle générale, si f(x) tend vers un réel a non nul, alors f(x) est équivalent à a.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

(suite).

Pour savoir si on peut simplifier, il faut savoir si un des termes est négligeable par rapport à l'autre. Le calcul du quotient le permet souvent. Donc il te reste à voir que donne en -1 le quotient 2ln(x+1)/(-1/(x+1))

Bon travail !

[jade2609]

merci

en 0
si je comprend bien comme la fraction est négligeable devant le reste de l'expression on la "supprime" de l'équivalent ?

[gg0]

As-tu vu la définition de f~g ? f~g si et seulement si f=g+h avec h=o(g)

Cordialement.

[jade2609]

merci de votre aide
je cherchai cette relation dans mon cour sans la trouvée

pour x tend vers -1 je n'ai pas de problème

à la question 3)a) pour le calcul des DL3(0) calculer les dérivées troisièmes suffit-il ?

merci d'avance.

[gg0]

Pour le DL de (1+h²)ln(1+h), pas besoin de dériver, le DL de ln(1+h) est connu.

Pour (1+h-h²)(1+h) c'est encore plus simple, il suffit de développer.

[jade2609]

autant pour moi
le deuxième DL est celui de (1+h-h²)/(1+h)
il manque la fraction dans l'énonce que j'ai écrit précédemment

[gg0]

Alors la division par puissances croissantes donne rapidement les trois termes du DL3 : De tête 1 -h²+h^3+o(h^3)
On peut aussi multiplier 1+h-h² par le DL3 de 1/(1+h), que tu dois avoir dans ton cours.
L'utilisation de la formule de Taylor (Maclaurin) est à réserver aux fonctions nouvelles.

Cordialement.

[jade2609]

merci pour le coup de main, j'ai pu finir dans les temps.