Variété différentielle (question basique pour se représenter la chose)

[freemp]

Bonjour,

Je commence à étudier la géométrie différentielle et j'aurai une petite question simple sur la notion de variété différentielle.

Bon la définition d'un tel objet c'est :

C'est un espace topologique M muni d'une famille de couples tels que

• (T représente la tribu) et ouvert.
• et ouvert où l'application est un homéomorphisme.
• 

Donc ok j'imagine M comme un ensemble un peu "compliqué" qu'on peut recouvrir avec des ouverts qui sont en bijection avec une partie de . D'où la dénomination de carte car physiquement ça indique qu'est ce qui se passe quand on traduit le déplacement sur l'espace compliqué sur un espace qu'on maitrise mieu : .

Le truc que je voudrai vérifier avec vous c'est le point suivant :

Notre prof a pas mal insisté sur le fait que les cartes doivent se recouvrir, c'est à dire que si on passe d'une carte à une autre la fin de la première carte correspond au début de la seconde (cf la 3e propriété énoncée pour la définition). Mais pour moi on peut très bien passer d'une carte à une autre sans à un moment donné être sur les deux à la fois (si jamais les cartes se touchent de manière "tangentes" à un endroit donné de l'espace).
Ceci peut ne pas contredire le fait que par exemple on peut avoir U1 et U2 qui ont une intersection non vide à un endroit mais qui sont tangents à un autre endroit (et donc passer de l'un à l'autre ne nécessite pas d'avoir un chevauchement).

Du coup vu qu'il a pas mal insisté là dessus je voudrai vérifier avec vous si vous êtes d'accord avec moi ou si un truc m'échappe ? (Peut être qu'il voulait surtout nous faire passer l'idée que et qu'il a un peu trop insisté dessus ce qui fait qu'il a dit un truc un peu faux, je sais pas ?).

Merci.
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[freemp]

erratum : T représente la topologie bien sur, pas question de tribu ici.

[Amanuensis]

[*]

J'imagine que est le vide .

Ceci dit je ne comprends pas la condition. Pour moi les conditions à la place sont 1) L'union des Ui donne M (tout point de M appartient à au moins un Ui), 2) Quand , alors , est au moins C1 là où défini.

Je ne vois pas trop comment la condition proposée impliquerait celles-ci. Et qui plus est elle interdirait des variétés différentielles non connexes (ainsi que certains atlas bona fide), ce qui ne semble pas usuel.

[Amanuensis]

PS: Exemple d'atlas bona fide exclu par la condition, une carte de Mercator, plus deux cartes une par pôle et ne couvrant qu'un rayon de 100 km autour du pôle, ce pour la surface de la Terre prise comme exemple de variété différentielle. Clairement les deux cartes polaires ont une intersection nulle, pourtant il n'y a rien de choquant d'utiliser cet atlas pour définir la variété différentielle.

[A voir en vidéo sur Futura]

[freemp]

Olala oui bien sur la réunion des Ui donne tout l'espace et il s'agit bien de l'ensemble vide pour le symbole (je me suis pas bien relu avant de poster, sorry).

Donc selon vous la condition d'intersection n'est pas nécessaire ? Pourquoi on définit nos variétés différentielles avec cette condition alors dans le cas général (dans le cours de mon prof on a bien cette condition) ? (Mais c'est vrai que je comprends pas trop non plus pourquoi on en a besoin car si j'ai compris la philosophie de l'objet, à partir du moment où on peut pour tout point de la variété définir un voisinage en homeomorphe à R^n je vois pas pourquoi on aurait besoin des conditions d'intersections, ça devrait suffire pour se repérer).

Merci.

[Amanuensis]

Donc selon vous la condition d'intersection n'est pas nécessaire ?

Je la trouve même gênante comme je l'ai indiqué. Elle exclut les variétés non connexes, par exemple. C'est assez bizarre de dire que ce qu'on obtient en supprimant un point d'une ligne n'est pas une variété alors que la ligne est une variété.

Et je ne vois pas non plus ce qu'elle amène, à part exclure les non connexes!