Bonjour à tous,

Je cherche un résultat portant sur les groupes de permutations , qui me paraît assez difficile au vu du temps de séchage personnel (mais est-ce un bon critère de difficulté?) Peut-être certains des abonnés auront rencontré cette question (problème de concours? livre de cours ou exercice?)... L'énoncé est assez simple.

Il est clair que dans un groupe l'inversion est un automorphisme si (et seulement si) est abélien.

Le groupe n'est pas abélien, mais je pense qu'il possède la propriété suivante :

Pour tout sous-groupe abélien de , il existe un automorphisme de tel que .
Autrement dit : pour tout sous-groupe abélien de , l'inversion peut être prolongée en un automorphisme de .

Cela a l'air de marcher jusqu'assez loin, pour . Ce n'est pourtant pas vrai pour tous les groupes, j'ai un petit contre-exemple dans un groupe à 21 éléments, non abélien, ayant donc un sous-groupe abélien "non inversible par automorphisme".

Merci infiniment à qui voudra bien me faire part de ses éventuelles connaissances, ou trouvailles, ou réflexions, sur ce sujet : preuve ou contre-exemple, bien sûr serait l'idéal.