intervalle de pari

[mathias12]

bonjour
il ya deux questions que je n'arrive pas à faire dans cet exercice. Pouvez vous m'aider svp merci

pour 136 personnes issues d'un échantillon aléatoire atteints d'une maladie, on recueille leur âge. Sur les 68 premiers il y a 64 personnes qui ont moins de 20 ans et sur les 68 dernières il y a 56 de moins de 20 ans. Sur l'ensemble de l'échantillon, on souhaite construire un intervalle qui contiendrait la probabilité d'avoir moins de 20 ans dans cette maladie avec une probabilité de 95%.

les questions sont les suivantes: s'agit il d'un intervalle de pari ? de confiance ? si on peut estimer cet intervalle ? si oui le calculer

pour moi il s'agit d'un intervalle de Pari. Dans cette échantillon il y a une moyenne de 88.2% d'avoir moins de 20 ans avec cette maladie
mais nous ne connaissons ni la variance ni l'écart type pour calculer l'intervalle.

est il possible ici de le calculer ?
si oui avec quelle formule ?
merci
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[ansset]

pour 136 personnes issues d'un échantillon aléatoire atteints d'une maladie, on recueille leur âge. Sur les 68 premiers il y a 64 personnes qui ont moins de 20 ans et sur les 68 dernières il y a 56 de moins de 20 ans.

bjr,
qu'entends tu par "premiers" et "derniers".
en fait la globalité de ta phrase dit simplement que sur les 136, il y en a 120 qui ont moins de 20 ans !

[mathias12]

c'est le sujet de l'exercice qui m'a été donné.

Pour moi c'est un intervalle de Pari. est ce correcte ?

[ansset]

pour moi, oui .

[A voir en vidéo sur Futura]

[mathias12]

pour mon professeur il s'agit d'un intervalle de confiance et je ne comprend pas pourquoi

[ansset]

en fait, tu me donnes un doute puisse qu'on te donne deux sous -échantillons.
je fait profil bas pour une réponse sure . ( par précaution )

[ansset]

mess croisés :
en fait chaque sous échantillon donne chacun un % légèrement différent.

[mathias12]

pour moi l'exercice parle de deux échantillons...que nous regroupons en un seul...
on est parti d'une population pour deux échantillons
donc je ne comprend pas pourquoi c'est un IC au lieu de IP

on a pris un échantillon au hasard dans une population

[Dlzlogic]

Quelle est la différence (cad les définitions) entre intervalle de pari et intervalle de confiance ?
Partons d'une série d'observations ou de mesures, A1 ... An. On sait calculer la moyenne. On sait calculer l'écart type (les définitions sont claires et précises).
Maintenant pour IC ou IP, qu'en est-il ? (j'avoue que c'est la première fois que j'entends parler de l'intervalle de pari).

[ansset]

non , il y en a deux justement dans l'énoncé et je pense que ce n'est pas par hasard ( contrairement à ma première lecture rapide )
il n'y en aurait qu'un seul , ce ne pouvait qu'être un intervalle de pari ;
maintenant je sèche un peu pour connaître la validité d'un intervalle de confiance avec uniquement 2 échantillons.
c'est à un statisticien de nous dire si cela a un sens.
apparemment selon ton prof, oui .
donc il faut faire les 2 %

[PrRou_]

bonsoir
intervalle de pari = intervalle de fluctuation
donc ce n'est pas la même chose qu'un intervalle de confiance.

Ici, on demande visiblement un intervalle de confiance à 95% avec une observation de 120 "positifs" sur 136 en regroupant les deux séries (confer le message d'ansset ci-dessus)
donc l'intervalle demandé est .... ?

[gg0]

Bonjour.

On construit un intervalle de pari avec les vraies valeurs sur la population, par exemple la moyenne et l'écart type. A partir du moment où on a seulement un ou des échantillons, on n'a que les estimations données par les échantillons, donc on ne peut avoir un intervalle de pari.

Cordialement.

[Dlzlogic]

Oui, bon d'accord, mais comment calculer un intervalle de pari, ou de fluctuation, d'une part et un intervalle de confiance, d'autre part.
Je me permet de rappeler qu'on est dans un forum de mathématiques et que la définition des termes est importante.
l n'y a pas très longtemps, on pouvait lire que l'expression "intervalle de fluctuation" allait être supprimée des programmes. Pour tout lecteur, cela semblait vouloir dire que fluctuation = confiance. Apparemment, on aurait trouvé un autre terme, plus en rapport avec le jeu.

[PrRou_]

Encore une fois, il faut revenir dans une discussion pour éviter toutes les confusions possibles et la désinformation. Ca devient lourd et pénible....

Pour calculer un intervalle de fluctuation (ce qui n'est pas l'objet de l'exercice), on lit un cours de seconde (ou première). A défaut :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Intervalle_de_fluctuation

Pour calculer un intervalle de confiance, on lit un cours de seconde (ou première). A défaut :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Intervalle_de_confiance

Ce serait très étonnant que l'expression "intervalle de fluctuation" soit supprimé des programmes : voir le BO de l'EN http://cache.media.education.gouv.fr...onde_65523.pdf

Il faut encore une fois bien dire que "intervalle de confiance" et "intervalle de fluctuation" ne sont pas du tout les mêmes notions, elles sont au contraire des notions "réciproques" (confer les abaques) : voir un cours de seconde (ou de première) ou à défaut les pages web mentionnées (par exemple !)

[Dlzlogic]

Bon, y'a qu'à consulter des documents ! D'accord.
Pour essayer d'être plus précis, on a un échantillon. On calcule une moyenne M et un écart type s.
Il n'y a pas d'autre information. Donc les hypothèses sont parfaitement précises.
Comme calculer d'une part l'intervalle de fluctuation (ou de pari) et d'autre part l'intervalle de confiance ?
IP = ... ?
IC = ...?

[Dlzlogic]

Je voudrais rajouter un point qui me parait important : on est dans le forum "supérieur". Donc, les références à des notions de classe de seconde sont sans intérêt. A ce niveau, il s'agit de démonstrations rigoureuses qui n'admettent pas de notions interprétatives. Dans le cas présent, il n'est pas indispensable de revenir aux notions fondamentales, mais seulement d'utiliser des théorèmes connus et des définitions précises.
Bonne soirée.

[PrRou_]

Bon, y'a qu'à consulter des documents ! D'accord.

Il ne suffit pas d'être d'accord, il faut le faire réellement !

Pour essayer d'être plus précis, on a un échantillon. On calcule une moyenne M et un écart type s.

Ben non, ce n'est pas ça du tout : pas de moyenne, pas d'écart type...

On calcule la fréquence observée : f=120/n avec n=136 puis on applique les formules classiques
(formules prouvées, théoriquement, par l'étude de la loi binomiale B(n, p), mais pratiquement par l'utilisation de la loi normale N(np, np(1-p)) )

Donc les hypothèses sont parfaitement précises.

en effet, comme toutes les mathématiques. On peut le répéter aussi souvent que l'on veut

Comme calculer d'une part l'intervalle de fluctuation (ou de pari) et d'autre part l'intervalle de confiance ?
IP = ... ?
IC = ...?

On lit un cours qui traite ce sujet (ou les deux pages citées par exemple) et la réponse est immédiate.

[PrRou_]

Je voudrais rajouter un point qui me parait important : on est dans le forum "supérieur". Donc, les références à des notions de classe de seconde sont sans intérêt. A ce niveau, il s'agit de démonstrations rigoureuses qui n'admettent pas de notions interprétatives. Dans le cas présent, il n'est pas indispensable de revenir aux notions fondamentales, mais seulement d'utiliser des théorèmes connus et des définitions précises.

Nous sommes en effet dans le forum "supérieur", mais *** ad hominem totalement inutile *** il est indispensable de rappeler les points fondamentaux concernant la question posée. Je n'y peux rien si le programme de seconde (première, etc) aborde le sujet !
C'est en effet dans les études supérieures que l'on démontre les formules abordées au lycée (car cela demande une certaine préparation mathématique), mais avant de comprendre comment on les démontre, il faut déjà les connaitre et les comprendre ! ... *** ad hominem totalement inutile *** .

[PrRou_]

Cetes, il y a beaucoup de choses totalement inutiles, mais bon, que faut-il faire ?

[Médiat]

En rester aux arguments mathématiques !

[PrRou_]

Oui, je suis d'accord, ce serait l'idéal si tout le monde jouait la carte des arguments mathématiques. Mais ce n'est le cas :

l n'y a pas très longtemps, on pouvait lire que l'expression "intervalle de fluctuation" allait être supprimée des programmes. Pour tout lecteur, cela semblait vouloir dire que fluctuation = confiance.

Où sont les maths là-dedans ?

les références à des notions de classe de seconde sont sans intérêt. A ce niveau, il s'agit de démonstrations rigoureuses qui n'admettent pas de notions interprétatives. Dans le cas présent, il n'est pas indispensable de revenir aux notions fondamentales, mais seulement d'utiliser des théorèmes connus et des définitions précises.

Et ceci est un argument pour prouver quoi ?

[PrRou_]

Revenons au sujet proprement dit :

pour 136 personnes issues d'un échantillon aléatoire atteints d'une maladie, on recueille leur âge. Sur les 68 premiers il y a 64 personnes qui ont moins de 20 ans et sur les 68 dernières il y a 56 de moins de 20 ans. Sur l'ensemble de l'échantillon, on souhaite construire un intervalle qui contiendrait la probabilité d'avoir moins de 20 ans dans cette maladie avec une probabilité de 95%.

En fait, ici, il y a deux expériences (pas tout à fait indépendantes, mais je fais comme si...) dont les résultats sont 64 et 56. La loi suivie par ces deux expériences est la loi binomiale B(68, p), que l'on peut approcher par la loi normale N(68p, 68p(1-p)) pour faire des calculs plus simples. Du coup, je vais dire que le couple des deux expériences suit la loi normale à 2 dimensions (vecteurs gaussien dit on).
Il faut déterminer toutes les valeurs p (dans l'intervalle [0,1] évidemment) telles que l'ellipse de fluctuation (ou de dispersion) à 95% contienne le point (64,56). Remarquer que dans notre cas, l'ellipse est un cercle.

Pour informations, voir par exemple http://web.cortial.net/optim/annexe2.html

[PrRou_]

Après calculs, on obtient l'intervalle de confiance à 95% [0.83 ; 0.90] (avec la valeur k=2.45 reprenant les notations du paragraphe http://web.cortial.net/optim/annexe2.html#A.2.1. ).

Pour mémoire, si on utilise uniquement la somme des deux expériences 64+56 (et non le vecteur [64,56]), on arrive à l'intervalle [0.81, 0.93] environ.

[Dlzlogic]

Bonjour Pr...
Tout d'abord, concernant cette information que l'ai lue. Le sujet a été ouvert par un prof qui assurait des classes de seconde, de première et de terminales, en tout cas deux classes dans le même lycée et, oh surprise pour ce prof, les définitions, les formules, etc n'étaient pas les mêmes pour des deux niveaux. C'est là que cette nuance entre "fluctuation" et "confiance" a été évoquée et le projet de suppression.
Pour rester dans le sujet, citation de Wiki :

Contrairement à l'intervalle de fluctuation, qui est déterminé par le paramètre et vise à encadrer l'estimateur, l'intervalle de confiance est aléatoire car dépend de l'échantillon et vise à encadrer le paramètre réel.

J'ai lu et relu cette phrase, je n'arrive pas à la comprendre. Et je constate d'autre part que les formules sont les mêmes, dans les deux cas.

Je résume les hypothèses.
On a un très grand nombre d'individus (dans le cas présent, pas tellement, puisqu'ils sont tous atteints d'une certaine maladie).
On prélève plusieurs échantillons, et chaque échantillon donne un résultat (dans le cas présent, on a deux échantillons de même taille 68 individus).
Je ne pense pas qu'il y ait d'autre données. Certains me rétorqueront peut-être "quelle loi de hasard a servi à choisir cet échantillon ?".

On peut donc calculer la moyenne des résultats (dans le cas présent, la moyenne des pourcentages de malades de moins de 20 ans).
On peut donc calculer l'écart-type de cette observation, et en déduire les bornes correspondant à une probabilité de 95% de ne pas se tromper dans les conclusions. Qu'on appelle "intervalle de confiance".

Si on peut calculer autre-chose, je suis preneur.

Il ne faut pas oublier que en mathématiques, on a des valeurs, on les traite et puis c'est tout.
Dans le cas présent on a une liste d'observations. Le mathématicien peut vérifier la répartition de ces valeurs par rapport à la moyenne arithmétique, si cette vérification est satisfaisante, calculer la répartition elle-même avec une unité quelconque, l'écart moyen quadratique ou l'écart moyen arithmétique, puis calculer les proportions relatives à chaque tranche ou classe de répartition. Pour se faire comprendre, il est parfois nécessaire de trouver des qualificatifs particuliers, mais cela n'apporte pas grand-chose, sauf un peu de confusion.

@gg0,

On construit un intervalle de pari avec les vraies valeurs sur la population, par exemple la moyenne et l'écart type. A partir du moment où on a seulement un ou des échantillons, on n'a que les estimations données par les échantillons, donc on ne peut avoir un intervalle de pari.

Je comprends bien ta nuance, tu appelles "vraies valeurs" la vraie moyenne et le vrai écart-type. Ceci sous-entend que toutes les valeurs élémentaires sont parfaitement réparties, ce qui doit être assez rare. Si ces valeurs ne suivent pas la répartition normale, alors le calcul d'écart type n'a pas de sens. De toute façon il est impossible de connaitre la "valeur vraie". On peut l'approcher avec une précision plus ou moins grande, mais ce ne sera jamais qu'une valeur approchée, que tu appelle estimateur et qui sera pour tout le monde la valeur adoptée (cf postulat de la moyenne)

[Dlzlogic]

Bon, voici mon calcul.
D'abord, il faut qu'on soit sûr de l'expression "intervalle de confiance à 95%". Pour moi, cela veut dire que sur un grand nombre d'expériences, il n'y en aura que 5% qui dépasseront les bornes de l'intervalle de confiance.
Le premier échantillon donne une proportion de moins de 20 ans = 64/68 = 0.941
Le second échanillon donne une proportion de moins de 20 ans = 56/68 = 0.823
soit une moyenne de 0.882. e1 = e2 = 0.059
L'écart type=sqrt((e1² + e2²)/(2-1)) = 0.083
L'intervalle de confiance = 95% est obtenu au niveau de 2 écart-type = 0.166
D'où borne supérieure = 0.882 + 0.166 = 1.048
borne inférieure = 0.082 - 0.166 = 0.716
Il est bien évident que la borne supérieure est à majorer par 1.00.

Discussion : les proportions observées étant 0.823 et 0.941, les bornes de l'intervalle de confiance seront forcément au-delà de celles-ci. Le contraire sous-entendrait que les valeurs servant au calcul seraient dans la tranche des 5%.

Cet exercice me parait particulièrement intéressant.

[ansset]

Après calculs, on obtient l'intervalle de confiance à 95% [0.83 ; 0.90] (avec la valeur k=2.45 reprenant les notations du paragraphe http://web.cortial.net/optim/annexe2.html#A.2.1. ).

Pour mémoire, si on utilise uniquement la somme des deux expériences 64+56 (et non le vecteur [64,56]), on arrive à l'intervalle [0.81, 0.93] environ.

je te fais confiance pour les calculs, mais dans le second cas il s'agit d'un intervalle de pari. non ?

[ansset]

je crois que j'ai dit une bétise, on doit pouvoir faire aussi un intervalle de confiance avec un seul échantillon ( dit représentatif ).
ce n'est simplement pas la même approche.

[gg0]

Comme dans les deux cas on travaille avec un échantillon, ne connaissant pas la vraie valeur de p, il s'agit toujours d'intervalles de confiance.

Cordialement.

[ansset]

merci, c'est plus clair. ( et concis )

[Dlzlogic]

Bonjour,
Ces expressions "fluctuation', "pari", "confiance" sont probablement utiles dans un cadre scolaire, mais dans la réalité mathématique, les choses sont plus simples.
On dispose d'une série d'observations. On peut en calculer la moyenne arithmétique, puis l'écart-type.
Il y a deux cas, le cas le plus fréquent où on ne connait pas la moyenne vraie, alors l'écart type est calculé avec la moyenne observée et le dénominateur est (n-1) si n est le nombre de valeurs.
Dans le cas où on connait la moyenne vraie, alors le dénominateur est (n).
A partir du moment où on a déterminé la moyenne et l'écart-type, on peut calculer tous les intervalles que l'on veut. Par exemple, on sait que la moitié des valeurs est dans l'intervalle [-2/3 ; 2/3] de l'écart-type.