Quand un nombre est-il inférieur à un autre nombre ?

[andretou]

votre question sur les successeurs revient un peu à tenir le raisonnement suivant :
"Un segment est une succession, ou "empilement" de points, or si chaque point a une épaisseur nulle, pourquoi le segment a-t-il une longueur ?"
Ce raisonnement est faux, car il ne faut pas considérer le segment comme un empilement de points.
De même il ne faut pas considérer l'ensemble des réels comme un empilement de nombres.

En effet, merci Juzo pour cette remarque (j'aime bien le terme choisi d'empilement) ! Bien qu'une droite soit un ensemble de points, on doit admettre qu'il est impossible de définir celle-ci comme la somme des points qui la composent.

Vous êtes d'accord que quelle que soit la distance strictement positive à 0 que l'on se trouve, on peut encore s'approcher de 0 ?

Je suis d'accord.

Donc il n'existe pas de distance minimale strictement positive à 0.

Mais alors que faut-il répondre à la question : à quelle distance de 0 se trouve le point le plus proche ?
Si la réponse est "le point le plus proche n'existe pas", cela ne revient-il pas à dire qu'il n'existe pas de point après 0 ?
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[Deedee81]

[...] le point le plus proche ?

Ca suppose que "la droite est un empilement de point dont l'un d'entre eux serait le plus proche".

Puisque c'est un empilement, alors ça devient faux. Tu ne peux pas supposer sans preuve qu'il existe un point le plus proche, ce que tu fais depuis un nombre considérable de messages.

Si la réponse est "le point le plus proche n'existe pas", cela ne revient-il pas à dire qu'il n'existe pas de point après 0 ?

Si, tout à fait, le point (juste) après 0 n'existe pas. Sinon on pourrait construire la droite par empilement de points, ce qui n'est pas possible.

[Juzo]

Si la réponse est "le point le plus proche n'existe pas", cela ne revient-il pas à dire qu'il n'existe pas de point après 0 ?

Comme le dit Deedee81, vous revenez à une vision d'empilement, d'où votre erreur.
Vous vous dites probablement : "Quand je me déplace à partir de 0, je rencontre en premier le point le plus proche de 0. Si ce point n'existe pas, c'est qu'il n'y a rien après le 0."

Pour quitter cette représentation, dites-vous que dès que vous vous êtes déplacé un tant soit peu à partir de 0, il y a déjà une infinité de points en votre position et le 0.
Voyez les points comme des positions possibles sur l'axe gradué, et non comme des objets qui s'empilent pour former l'axe.

[invite02232301]

Ah désolé. Si tu avais une autre référence utile pour Andretou ?

Ne soyez pas désolé, ca n'est que mon avis!
Pour ma part je conseillerais celui là (que je viens de lire en diagonale, mais il a l'air facile a lire, et parle des points importants, et est parfaitement rigoureux... pas tres etonnant quand on voit l'auteur à vrai dire).

A noter qu'il choisit d'admettre l'existence et l'unicité du corps des réels au debut (ce qui est parfaitement acceptable)

Il existe un unique corps totalement ordonné dans lequel toute partie non vide majorée admet une borne supérieure.
Ce corps, noté R, contient le corps des nombres rationnels Q.

On peut completer (en seconde lecture) par la construction du dit corps et la preuve de son unicité.
Mais plus les messages d'Andretou s'accumulent plus je commence a douter de l'interet de tout cette discussion de toute façon.

Ca fait quand meme 9 pages de trivialités repétées en boucle "à toutes les personnes, à tous les temps et à tous les modes" comme dirait ma mamie.

[Deedee81]

Merci pour cette référence, j'ai regardé le début, c'est même plutôt facile à lire je trouve.

[andretou]

Comme le dit Deedee81, vous revenez à une vision d'empilement, d'où votre erreur.
Vous vous dites probablement : "Quand je me déplace à partir de 0, je rencontre en premier le point le plus proche de 0. Si ce point n'existe pas, c'est qu'il n'y a rien après le 0."

Pour quitter cette représentation, dites-vous que dès que vous vous êtes déplacé un tant soit peu à partir de 0, il y a déjà une infinité de points en votre position et le 0.
Voyez les points comme des positions possibles sur l'axe gradué, et non comme des objets qui s'empilent pour former l'axe.

Mais concrètement, si je décide de déplacer sur ma droite le point 0 jusqu'au point 1, est-ce que mon mobile va passer successivement par tous les points intermédiaires sans exception, du premier jusqu'au dernier, du plus proche jusqu'au plus éloigné, ou pas ?
Si non, quelle est la manière correcte de décrire la relation entre le mobile et chacun des points du parcourt ?

[Noress]

Salut Andretou,

Mais concrètement, si je décide de déplacer sur ma droite le point 0 jusqu'au point 1, est-ce que mon mobile va passer successivement par tous les points intermédiaires sans exception, du premier jusqu'au dernier, du plus proche jusqu'au plus éloigné, ou pas ?
Si non, quelle est la manière correcte de décrire la relation entre le mobile et chacun des points du parcourt ?

Voyez les points comme des positions possibles sur l'axe gradué, et non comme des objets qui s'empilent pour former l'axe.

Cdt.

[azizovsky]

Si non, quelle est la manière correcte de décrire la relation entre le mobile et chacun des points du parcourt ?

C'est simple, il suffit de et de compter les points :

[Juzo]

Mais concrètement, si je décide de déplacer sur ma droite le point 0 jusqu'au point 1, est-ce que mon mobile va passer successivement par tous les points intermédiaires sans exception, du premier jusqu'au dernier, du plus proche jusqu'au plus éloigné, ou pas ?
Si non, quelle est la manière correcte de décrire la relation entre le mobile et chacun des points du parcourt ?

Le terme "successivement" ramène à l'idée de succession, et donc d'empilement. Si vous acceptez d'abandonner ce point de vue, il est malhonnête de poser encore des questions qui s'y réfèrent Demandez-vous si vos questionnements n'ont pas pour origine cette représentation erronée, avant de nous les transmettre.

Concernant la relation entre le mobile et les points, chaque point correspond à une position du mobile sur l'axe à un instant donné. Mais les positions, de même que les instants, ne se "succèdent pas" contrairement à l'expression commune. Cela ne pourrait pas rendre compte d'un mouvement continu.

[andretou]

Je tiens à remercier toutes les personnes qui m'ont fait l'amitié de participer à cette discussion, et qui m'ont ainsi permis d'approfondir ma réflexion.

Toutefois, il me reste encore un "point" à éclaircir, et c'est pourquoi je sollicite une dernière fois votre patience.

En effet, si l'on considère le mouvement d'un mobile sur le segment [0 , 1], il est possible d'interpréter ce mouvement de deux manières différentes au moins.

A/ une manière "gentille" (ou "géométrico-algébrique") qui consiste à observer la distance parcourue au cours du temps ; on peut ainsi faire le choix de considérer que le mobile parcourt d'abord la moitié du segment [0 , 1], puis la moitié de la distance restante, puis la moitié de la moitié de la distance restante, etc, etc...
Au final, la distance parcourue est donc 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...
Or on démontre que la Somme de n=1 à l'infini des (1/2) puissance n est exactement égale à 1.
Le calcul confirme bien que le mobile est arrivé jusqu'au point d'abscisse 1, donc l'interprétation "géométrico-algébrique" est conforme à la réalité du mouvement.

B/ une manière "topologique", a priori strictement équivalente, qui consiste à observer la position du mobile au cours du temps ; on peut ainsi faire le choix de considérer que le mobile passe par le milieu du segment [0 , 1], puis par le milieu du segment [1/2 , 1], puis par le milieu du segment [3/4 , 1], etc, etc..., le mobile passant obligatoirement par le milieu du segment restant à parcourir. Or, selon cette interprétation, le mobile ne peut que se rapprocher indéfiniment du point d'abscisse 1 sans jamais l'atteindre, puisqu'il y a toujours un point intermédiaire (une infinité en fait !) entre la distance parcourue et le point d'abscisse 1.
Cette interprétation "topologique" du mouvement me semble mathématiquement correcte, mais ne correspond pourtant pas à la réalité (puisqu'elle ne permet pas de conclure que le mobile atteint le point d'abscisse 1).

Pouvez-vous SVP m'aider à comprendre pourquoi l'interprétation "topologique" n'est pas conforme à la réalité ? Que faut-il modifier/rectifier ?

[gg0]

Il n'y a aucun problème à ce qu'il passe par une infinité de points entre 1/2 et 1 puisqu'il l'a déjà fait entre 0 et 1/2.
"L'interprétation topologique" (un grand mot pour ne rien dire !) ne pose aucun problème autre que d'emploi des mots pour refuser le substrat mathématique.

[Deedee81]

Salut,

Pauvre Zenon

Je confirme que l'usage du mot topologique est inapproprié.

Andretou, tu fais encore une erreur "d'accumulation". Tu raisonnes (dans ton B) comme si un trajet de durée finie ne pouvait qu'être une quantité dénombrable (et même finie ici).
C'est faux, la durée finie peut parfaitement constituée d'une infinité d'étapes (et même une infinité non dénombrable). du moment que la somme des durées de chaque étape converge.
Et ici la convergence sur la durée du voyage) tend vers 1. Donc, oui, il n'atteint jamais 1 en un nombre fini d'étapes, c'est-à-dire en une durée inférieure à la durée totale du voyage (ce qui franchement est évident !) mais l'atteint bien sur la durée totale (infinité d'étapes).

C'est du Zenon bête et méchant.

[andretou]

Salut,

Pauvre Zenon

Je confirme que l'usage du mot topologique est inapproprié.

Andretou, tu fais encore une erreur "d'accumulation". Tu raisonnes (dans ton B) comme si un trajet de durée finie ne pouvait qu'être une quantité dénombrable (et même finie ici).
C'est faux, la durée finie peut parfaitement constituée d'une infinité d'étapes (et même une infinité non dénombrable). du moment que la somme des durées de chaque étape converge.
Et ici la convergence sur la durée du voyage) tend vers 1. Donc, oui, il n'atteint jamais 1 en un nombre fini d'étapes, c'est-à-dire en une durée inférieure à la durée totale du voyage (ce qui franchement est évident !) mais l'atteint bien sur la durée totale (infinité d'étapes).

C'est du Zenon bête et méchant.

Désolé pour le terme "topologique"...
Je voudrais cependant faire remarquer que le raisonnement B, comme le raisonnement A, ne tient pas compte de la durée. En B comme en A, la durée peut tout aussi bien être infinie, ça ne changerait rien au problème.
Si l'explication de B tient au caractère non-dénombrable de l'ensemble des points parcourus et restant à parcourir, aurais-tu STP la possibilité de préciser ce "point" ?
En particulier, pourquoi cette question de la non-dénombrabilité entrerait-elle en compte dans le raisonnement B et pas dans A ?

[Noress]

Bonsoir Andretou,
Je vais essayer de te répondre de façon extra-mathématique (car mathématiquement je me perdrais), mais tu es un sacré Casse-Tête.
Tu considère ton segment de droite [0 1]. En raisonnant à travers l'ensemble des réels, il a déjà été précisé que tu pourras toujours te positionner sur un réel compris entre 0 et 1 inclus.
Là où ça devient compliqué c'est lorsque tu raisonnes avec ton mobile dans l'ensemble des réels, dans une volonté de mouvement. Que l'on me corrige si cela est faux mais tu ne pourras pas parcourir les réels compris dans l'intervalle [0 1] pour une question d'infinité.
Pour essayer de te donner une image, place ton mobile sur le point 0 et à chaque tentative de progression vers le point 1, simultanément, ton segment de droite sera comme soumis à une sorte de zoom.
Cdt.

Si c'est choquant ne tapez pas trop fort merci.

[andretou]

Il n'y a aucun problème à ce qu'il passe par une infinité de points entre 1/2 et 1 puisqu'il l'a déjà fait entre 0 et 1/2.

Bonjour gg0
Tu peux en effet diviser le segment [0 , 1] en n segments de longueur unitaire 1/n (dans ton exemple n = 2), et considérer que la distance parcourue est égale au nombre de segments parcourus x 1/n. Au final, la distance parcourue vaudra donc n x 1/n = 1.
Cette interprétation "arithmétique" conduit trivialement au fait que le mobile atteint le point d'abscisse 1. Son intérêt est limité, mais je te remercie de l'avoir portée à notre attention.
Pourrais-tu plutôt nous faire part de ton analyse de l'interprétation B ?

[minushabens]

Ce n'est pas ce qu'a dit gg0. Tu dis que le mobile doit passer par les points 1/2, 3/4, 7/8 etc mais déjà pour arriver à 1/2 il a dû passer par 1/4, 3/8, etc. S'il ne peut arriver en 1 il ne peut non plus arriver en 1/2 et finalement il ne peut arriver nulle part.

[andretou]

Ce n'est pas ce qu'a dit gg0. Tu dis que le mobile doit passer par les points 1/2, 3/4, 7/8 etc mais déjà pour arriver à 1/2 il a dû passer par 1/4, 3/8, etc. S'il ne peut arriver en 1 il ne peut non plus arriver en 1/2 et finalement il ne peut arriver nulle part.

En effet, puisque le point 0 n'a pas de successeur, par où passe le mobile ???

[gg0]

L'interprétation B ne pose aucun problème sauf la fin qui est contrefactuelle. Autrement dit, la partie "ne peut que se rapprocher indéfiniment du point d'abscisse 1 sans jamais l'atteindre" n'a pas de sens. Si le mobile va à 1m/s, au bout d'une seconde, il a parcouru tout le mètre. Pas "presque tout".
Mais c'est toujours ton refus de considérer le continu autrement que comme des points séparés. A partir de là, inutile de discuter, tu refuses le continu mathématique et physique. Tu raisonnes dans le vide.

Au moins, les sophistes (Zénon et al) ne considéraient pas leurs apories comme représentatives du monde, ni comme des raisonnements solides. Seulement comme des moyens de montrer qu'il ne suffit pas de mots pour penser le monde.

[Noress]

En effet, puisque le point 0 n'a pas de successeur, par où passe le mobile ???

Par la porte des étoiles !!

[andretou]

L'interprétation B ne pose aucun problème sauf la fin qui est contrefactuelle. Autrement dit, la partie "ne peut que se rapprocher indéfiniment du point d'abscisse 1 sans jamais l'atteindre" n'a pas de sens.

Cette conclusion est pourtant conforme au fait que le point d'abscisse 1 n'a pas de prédécesseur.
Si le mobile atteint le point d'abscisse 1, cela implique nécessairement que ce point a un prédécesseur ; or on sait qu'il n'en a pas...

Si le mobile va à 1m/s, au bout d'une seconde, il a parcouru tout le mètre. Pas "presque tout".

C'est évident, et je n'ai pas dit le contraire !

Mais c'est toujours ton refus de considérer le continu autrement que comme des points séparés.

Pour m'éclairer, pourrais-tu STP expliciter ta conception du continu ?

[minushabens]

Pour m'éclairer, pourrais-tu STP expliciter ta conception du continu ?

je pense que ton problème est là: tu t'accroches à ce mot "continu" alors que ce n'est qu'un mot. En mathématiques on s'intéresse aux définitions des objets, pas tellement aux noms qu'on leur donne, et qui d'ailleurs sont parfois mal choisis. Oublie le continu.

[Médiat]

Bonjour minushabens

Point soulevé au message #30 et toujours sans réponse, j'ai abandonné l'idée d'en avoir une.

[andretou]

Point soulevé au message #30 et toujours sans réponse, j'ai abandonné l'idée d'en avoir une.

Bonjour Médiat
Au #30 je n'avais pas encore compris qu'aucun point n'a de successeur ni de prédécesseur... Maintenant que j'ai accepté cette idée, je serais ravi de connaître votre pensée sur l'interprétation B, si vous souhaitiez nous en faire part.
Et incidemment, puisque 0 n'a pas de successeur, alors par où passe le mobile ?

[ansset]

Et incidemment, puisque 0 n'a pas de successeur, alors par où passe le mobile ?

à chaque instant de son déplacement il passe à l'endroit d'un point précis.

[invite02232301]

Ce fil étant parti dans le nawak (comme dirait Amanuensis) complet, autant rajouter du HS/des commentaires. Here we go.

Ce qui est rigolo avec les Zenonistes, c'est deux choses

1/ Le pseudo paradoxe quant au mouvement, est toujours focalisé sur l'espace. Or, le temps est exactement de meme nature que l'espace dans le cadre de cette "modélisation". Le temps etant un réel, pour passer de 0 à 1 seconde, il doit lui aussi "passer par" 1/2 secondes, 1/4secondes etc... En fait c'est precisement parce que le temps et l'espace sont modélisé par le meme type d'objet que la modélisation marche bien. Mais bizarrement on ne voit jms ce reproche fait au temps (j'espere que je ne suis pas en train de semer de futurs shitstorms), comment le temps passe t il alors qu'il doit passer par une infinité d'instant.

2/ J'imagine que certains, parmi les zenonistes, se disent qu'il faudrait alors que l'espace soit discret pour que le mouvement soit possible, mais alors ce serait pire, puisque si l'on modélise alors le temps par un réel, cette fois effectivement le mouvement continue devient impossible.

Une creation d'un sous forum "shtam" à l'image des maths.net (sur lequels pourrait poster a l'envie les Andretou, Dlzlogic, Chentouf et autres mathematically impaired...) pourrait peut etre permettre de rendre un peu de qualité au forum.

[gg0]

Plutôt que shtam, qui dit encore un certain rapport aux maths, pourquoi pas "baratiner" ? Car comme on le voit ici, il s'agit seulement de baratiner. d'aligner des mots, et de revenir sans arrêt sur les mêmes affirmations sans rapport avec les maths. Dans le forum shtam, il y a d'authentiques morceaux de mathématiques.

Cordialement.

[andretou]

Ce fil étant parti dans le nawak (comme dirait Amanuensis) complet, autant rajouter du HS/des commentaires. Here we go.

Ce qui est rigolo avec les Zenonistes, c'est deux choses

1/ Le pseudo paradoxe quant au mouvement, est toujours focalisé sur l'espace. Or, le temps est exactement de meme nature que l'espace dans le cadre de cette "modélisation". Le temps etant un réel, pour passer de 0 à 1 seconde, il doit lui aussi "passer par" 1/2 secondes, 1/4secondes etc... En fait c'est precisement parce que le temps et l'espace sont modélisé par le meme type d'objet que la modélisation marche bien. Mais bizarrement on ne voit jms ce reproche fait au temps (j'espere que je ne suis pas en train de semer de futurs shitstorms), comment le temps passe t il alors qu'il doit passer par une infinité d'instant.

2/ J'imagine que certains, parmi les zenonistes, se disent qu'il faudrait alors que l'espace soit discret pour que le mouvement soit possible, mais alors ce serait pire, puisque si l'on modélise alors le temps par un réel, cette fois effectivement le mouvement continue devient impossible.

Une creation d'un sous forum "shtam" à l'image des maths.net (sur lequels pourrait poster a l'envie les Andretou, Dlzlogic, Chentouf et autres mathematically impaired...) pourrait peut etre permettre de rendre un peu de qualité au forum.

Mais enfin MiPaMa, comment peut-on en arriver à une telle violence sur un forum de maths ??? On n'est pourtant pas sur un forum de politique ou de spiritualité !!!...
Le fait de dénigrer ainsi un interlocuteur, en le rabaissant à un obscur statut intellectuel de second rang (en l'occurence "zénoniste"), ne risque surement pas de "rendre un peu de qualité au forum".

[Médiat]

Bonsoir,

Tout a été dit : on ferme

Médiat, pour la modération