Champ vectoriel - Identité de Jacobi

[Lévesque]

Bonjour,

je viens de démontrer l'identité de Jacobi

[X,[Y,Z]]+[Z,[X,Y]]+[Y,[Z,X]]=0,

en considérant seulement que X, Y et Z sont des objets qui ne commutent pas, et en appliquant la définition du commutateur [X,Y]=XY-YX.

Dans mon livre de RG, on dit qu'il est facile de prouver que l'identité de Jacobi est respectée pour des champs vectoriels X, Y et Z.

Je me demande, qu'est-ce que ça change dans ma démo de savoir que X, Y et Z sont des champs vectoriels?

Il me semble que j'ai montré qu'elle est valide pour n'importe quelle quantités X, Y et Z qui ne commutent pas... (Les champs vectoriels s'expriment comme un somme sur des dérivés partiels )

Y a t-il une subtilité que je ne vois pas? Ou bien je peux être fière de moi ?

Merci pour vos commentaires,

Simon
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[invite8b04eba7]

Pour quoi as-tu besoin de supposer qu'ils ne commutent pas ? L'identité de Jacobi reste vrai (même si elle est triviale).

Je corrige juste quelque chose : tu dis que les champs de vecteurs s'expriment comme une somme de dérivées partielles, ce n'est pas tout-à-fait vrai, ça l'est seulement localement, une fois que tu as fixé un système de coordonnées.

Mais sinon ta démonstration est sûrement valable.

[invite8b04eba7]

Je viens de comprendre ton problème : ce qu'il faut voir, c'est ce qu'on entend par le produit de deux champs de vecteurs ; a priori, rien ne te dit que tu peux subsituer un champs de vecteur dans l'égalité formelle que tu a démontré, car la substitution ne commute par forcément avec les opérations que tu fais.

Le mieux c'est de démontrer directement l'identité sur les champs de vecteurs, en utilisant leur forme normale locale ; dans ce cas, c'est sûrement une affaire de Schwartz.

[Lévesque]

Je corrige juste quelque chose : tu dis que les champs de vecteurs s'expriment comme une somme de dérivées partielles, ce n'est pas tout-à-fait vrai, ça l'est seulement localement, une fois que tu as fixé un système de coordonnées.

Tu as raisons, merci pour la précision.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Sephi]

Le commutateur ici, c'est en fait le crochet de Lie. Celui-ci est défini pour deux champs de vecteurs, et possède une propriété particulière : le crochet de 2 champs de vecteurs est un champ de vecteurs. C'est pour ça qu'une expression comme [X,[Y,Z]] a du sens.

À mon avis, c'est pour cette raison qu'il insiste sur le fait que ce soit des champs de vecteurs.

[invite8b04eba7]

Plus précisément, on a

[Lévesque]

Le mieux c'est de démontrer directement l'identité sur les champs de vecteurs, en utilisant leur forme normale locale ; dans ce cas, c'est sûrement une affaire de Schwartz.

Schwartz? Seulement son inégalité me vient en tête...

[invite8b04eba7]

Je parlais du fait que les dérivées partielles commutent. Je ne sais pas si c'est le nom standard.

[Lévesque]

Plus précisément, on a

D'accord, tu crois qu'il faut que je démontre l'identité exprimant les champs comme ça... ouais, ça ferait plus de sens, sinon c'est très trivial...

Merci, déjà, je regarde ça,

Cordialement,

Simon

edit:

Je parlais du fait que les dérivées partielles commutent. Je ne sais pas si c'est le nom standard.

Ok! merci, là je vois ce que tu veux dire...

[invite8b04eba7]

D'accord, tu crois qu'il faut que je démontre l'identité exprimant les champs comme ça...

Je ne sais pas trop, la démonstration que je connais utilise la dérivé de Lie, mais c'est peut-être un peu abstrait.

[invite71b1f7de]

Bonjour a tous

Je parlais du fait que les dérivées partielles commutent. Je ne sais pas si c'est le nom standard.

Je n'apporte rien de bien génial , mais il me semble que cette permutation , qui porte bien le nom theoreme , ou propriété de Schwartz , est valable dans le cas de Ck difféomorphismes , ici que representent donc les
alphas _i et betas_i ??

[invite8b04eba7]

que representent donc les
alphas _i et betas_i ??

Ce sont des applications de classe au moins , mais en général on les prend .

[Lévesque]

Ce sont des applications de classe au moins , mais en général on les prend .

Dans mon cas c'est C-infini.

[mtheory]

Une idée,avec un ensemble de quantités données qu'est-ce qui te prouve que le commutateur de deux éléments fait encore partie de l'ensemble de départ ?
Je sais je suis un peu vaseux là...

[Lévesque]

Une idée,avec un ensemble de quantités données qu'est-ce qui te prouve que le commutateur de deux éléments fait encore partie de l'ensemble de départ ?
Je sais je suis un peu vaseux là...

Il faut que l'ensemble forme un groupe?

Si je sais que mon ensemble forme un groupe, alors là c'est simple! Comment être certain que mes champs, par exemple, respectent une certaine algèbre? Je veux dire, que Z puisse être exprimé que une constante fois le commutateur de X et Y?

[Lévesque]

Concernant l'idée d'introduire la notion de groupe, je viens de lire dans mon livre que l'ensemble des champs vectoriels est une |R-Algèbre de Lie.
Mais la phrase vient après les identités, dont celle que je souhaite démontrer... Puis-je utiliser l'algèbre du groupe pour démontrer la propriété sans risquer d'utiliser un résultat que je suis sensé démontrer?

[Lévesque]

Bon, j'ai réussi mais d'une façon pas trop élégante. Je vous montre:

En coordonnées locales, avec , on a

On trouve donc que

avec

Ma première idée était de démontrer

,

ce qui démontre évidemment l'identité de Jacobi. Mais, je n'ai pas trouvé la symétrie recherché dans les . J'ai finalement calculé explicitement les coefficients (voyez comme c'est laid) :





On voit bien à l'oeil qu'en additionnant les trois, ça donne zéro.

Si jamais quelqu'un voit comment donner un peu de charme à la démo, mon envie soudaine de beauté serait peut-être satisfaite...

Ciao!

Simon

[Lévesque]

Je ne sais pas trop, la démonstration que je connais utilise la dérivé de Lie, mais c'est peut-être un peu abstrait.

Mmmm... c'est peut-être abstrait, mais ça m'intéresse... c'est plus jolie qu'en coordonnées locales?

[invite8b04eba7]

Puis-je utiliser l'algèbre du groupe pour démontrer la propriété sans risquer d'utiliser un résultat que je suis sensé démontrer?

Ça m'étonnerait : être une algèble de Lie, c'est une propriété qui n'a pas trop de rapport avec les algèbres de groupes. En fait, ce que tu as (presque) démontré dans ton premier message, c'est qu'étant donné une algèbre associative A, tu peux la munir d'une structure d'algèbre de Lie en posant

Il faut aussi vérifier que [X,X] = 0 mais bon...

Pour les champs de vecteurs, une telle définition du crochet n'a a priori pas de sens.

L'idée abstraite pour démontrer que l'algèbre des champs de vecteurs est une algèbre de Lie est de montrer que l'ensemble des champs de vecteurs est isomorphe, en tant qu'espace vectoriel, à une algèbre de Lie assez connue, ce qui permet, par transport de structure, de définir un crochet de Lie sur les champs de vecteurs. Ensuite on montre que l'on a bien la formule locale que j'ai donné dans un parent de ce message.

[invite8b04eba7]

Bon, je vais essayer de détailler un peu.

Soit M une variété C-infini. J'appelle dérivation de M tout endomorphisme de l'espace vérifiant

Comme l'ensemble des dérivations est une sous-espace vectoriel de lequel est une algèbre associative, on peux définir le crochet de Lie de deux dérivations par

Il faut ensuite vérifier que ce crochet est bien une dérivation pour finir de montrer que l'ensemble des dérivation de M (que je noterai D(M)), muni de ce crochet, est une algèbre de Lie (et vérifie donc l'identité de Jacobi).

Venons-en au champs de vecteurs : si X est un champ de vecteurs sur M, je peux définir une dérivation par

Le fait que ce soit une dérivation découle directement des propriété de la différentielle d'un produit.

Remarquons que si X est le champ de vecteurs constant égal à , alors .

Il se trouve que l'application est un isomorphisme d'espaces vectoriel ; c'est d'ailleurs grâce à cette identification que l'on peut écrire localement un champ de vecteurs comme une combinaison de dérivées partielles.

[Lévesque]

Il faut ensuite vérifier que ce crochet est bien une dérivation pour finir de montrer que l'ensemble des dérivation de M (que je noterai D(M)), muni de ce crochet, est une algèbre de Lie (et vérifie donc l'identité de Jacobi).

Je ne sais pas trop si j'ai envie de me lancer là-dedans. Ta preuve suppose un lien entre algèbre de Lie et identité de Jacobi. Or, dans mon cours, on n'est pas rendu là (c'est un cours de RG et on s'introduit à la géométrie différentielle en ce moment, on a vue la dérivée de Lie, mais je ne vois pas comment simplifier mon calcul avec la dérivée de Lie ), je me vois mal utiliser des arguments qui se retrouvent 2 chapitres plus loin que la phrase "de ces définitions, il n'est pas difficile de démontrer les identités suivantes" (dont l'identité de Jacobi). De plus, mon livre énonce les identités, puis conclue que c'est une algèbre de Lie, je me vois mal utiliser l'argument que c'est une algèbre de Lie dans la démo des identités...

Je vais essayer de refaire la preuve sans expliciter les coordonnées locales, c'est-à-dire en utilisant:

.

Je ferai part de mes conclusions. Si vous avez d'autres suggestions, elles sont les bienvenues!

Salutations,

Simon

[Lévesque]

Voilà une solution que je trouve déjà un peu plus esthétique:

Seulement en applicant la définition du crochet, on a














Et donc,






Voilà!

Merci pour vos contributions, particulièrement à Doudache!

Cordialement,

Simon