modéliser à l'aide des équations différentielles

[Omnitrix]

Bonsoir à tous,

Je suis bloqué sur l'exercice suivant :

A un moment choisi comme origine du temps (t = 0), une quantité Q0
d'un médicament est administrée par voie orale (par la bouche) et se
retrouve instantanément dans le système digestif. Du système digestif,
le médicament passe ensuite dans la circulation sanguine d'où il est
éliminé par filtration rénale.
On suppose que la vitesse de passage du médicament du système digestif à la circulation sanguine (adsorption) est directement proportionnelle à la quantité de médicament en ore présente dans le système
digestif. On suppose que la vitesse d'élimination du médicament par
les reins est directement proportionnelle à la quantité de médicament
présente dans le sang. Si on désigne les constantes d'adsorption et d'élimination par ka et ke respectivement, on peut légitiment supposer que
ka > ke.
a) On demande d'écrire les équations différentielles dé rivant es phénomènes et de les résoudre pour déterminer les quantités de médicament présentes dans le système digestif et dans la circulation
sanguine à tout instant t. On supposera nulles les quantités de médicament dans le système digestif et dans la circulation sanguine
avant la prise du médicament.

b) Déterminez une expression donnant le temps auquel une quantité
égale de médicament se trouvera dans le système digestif et dans la
circulation sanguine


d'après moi :

a) soit Qd(t) la quantité de médicament au temps t
je peux écrire Qd(t)/dt =- ka Qd qui est la vitesse de passa ge du médoc dans la circulation sanguine

Ensuite je désigne Qs(t) la quantité de médoc dans le système sanguin à l'instant t
mais la voilà je bloque un peu...on me dit que la vitesse d'élimination est proportionnelle à la quantité présente dans le sang à un temps t j'imagine que Qd -x me donne Qs mais je ne vois pas comment mettre ça sous forme d'équation du moins si mon raisonnement est correcte ...si quelqu'un pouvait me donner des pistes ...
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[Tryss2]

Edit : envoi trop tôt

[Tryss2]

Si on note la quantité de médicament dans le système digestif et celle dans le système sanguin et, pour mieux comprendre, la quantité éliminée

On a naturellement

, constante

On en déduit (en dérivant l'égalité) que (1)

Ensuite, comme tu l'as fait remarqué,

(2)

On a aussi

(3)


On utilise (2) et (3) dans (1) pour obtenir

(4)


Mais on peut résoudre (2), et ensuite remplacer dans (4) par sa valeur. Reste ensuite à résoudre (4)

[Omnitrix]

Merci pour ces éclaircissements ....
Il reste juste un petit point d'ombre pour la quantité Qe (quantité éliminée) pourquoi n'a t-on pas un signe négative étant donné que le médoc est éliminé ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss2]

Le médicament est éliminé, donc Qe, la quantité éliminée, augmente au fil du temps.

[Omnitrix]

oui je n'y ait pas penser ... merci beaucoup !!!!

[Omnitrix]

J'essaie donc de résoudre cette différentielle

je trouve comme solution générale :

Pour la solution de l'équation non homogène je travail avec la " guess method"

Soit





En trouvant A & B mon résultat est erroné je me demande donc si je peux travailler de cette manière comme Qd une fonction en elle même est-ce que mon expression tient la route .....??

[minushabens]

Salut,

juste pour t'aider à trouver de la biblio sur cette question: cette sorte de modèle s'appelle "modèle à compartiments" (compartment model), et a surtout été développé par les chimistes, même si maintenant on les rencontre en épidémiologie entre autres (modèles dits "SIR" par exemple).

[Tryss2]

Non. Commence par résoudre (2)

C'est une équation de la forme y' = a.y, donc la solution est de la forme...

[Omnitrix]

Je suis arrivé au bout merci pour votre aide ....